Chương 4. GIỚI HẠN
A. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
§1. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0
A. TÓM TẮT GIÁO KHOA
1. Định nghĩa dãy số có giới hạn 0:
Dãy số ($u_{n}$) có giới hạn 0 (hay có giới hạn là 0) nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.
Khi đó ta viết:
lim($u_{n}$) = 0 hoặc lim$u_{n}$ = 0 hoặc $u_{n}$ → 0
(Kí hiệu "lim$u_{n}$ = 0” còn được viết .png)
đọc là dãy số ($u_{n}$) có giới hạn là 0 khi n dần đến vô cực).
Chú ý:
a) lim$u_{n}$ = 0 ⇔ lim $\mid$$u_{n}$$\mid$ = 0
b) lim0 = 0
2. Một số dãy số có giới hạn 0:
Định lí 1:
Cho hai dãy số ($u_{n}$) và ($v_{n}$)
Nếu $\mid$$u_{n}$$\mid$ $\leq$ $v_{n}$ với mọi n và lim$v_{n}$ = 0 thì lim$u_{n}$ = 0.
Định lí 2:
Nếu $\mid$q$\mid$ < 1 thì lim$q^{n}$ = 0
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
1. Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0:
.png)
Giải
.png)
.png)
2. Chứng minh rằng hai dãy số ($u_{n}$) và ($v_{n}$) với :
.png)
có giới hạn 0.
Giải
.png)
3. Chứng minh rằng các dãy số ($u_{n}$) sau đây có giới hạn 0:
.png)
Giải
.png)
4. Cho dãy số ($u_{n}$) với .png)
a) Chứng minh rằng .png)
với mọi n.
b) Bằng phương pháp qui nạp, chứng minh rằng .png)
với mọi n.
c) Chứng minh rằng dãy số ($u_{n}$) có giới hạn 0.
Giải
.png)
b) Rõ ràng $u_{n}$ > 0, $\forall n\geq 1$.
Ta chứng minh .png)
Với n = 1 ta có .png)
Vậy (1) đúng với n = 1
Giả sử (1) đúng với n = k, tức là ta có :
.png)
Khi đó .png)
(theo câu a)
.png)
Vậy (1) đúng với n = k + 1 nên (1) đúng với mọi n.
.png)
C. BÀI TẬP LÀM THÊM
Chứng minh các dãy số ($u_{n}$) sau có giới hạn 0:
.png)