§3. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
11. Tìm giới hạn của các dãy số ($u_{n}$), với
.png)
Giải
.png)
12. Tìm giới hạn của các dãy số ($u_{n}$) với :
.png)
Giải
a) Ta có
.png)
.png)
b) Chia tử và mẫu của phân thức cho n, ta được:
.png)
13. Tìm các giới hạn sau :
a) lim(2n + cosn);
.png)
Giải
.png)
14. Chứng minh rằng nếu q > 1 thì lim$q^{n}$ = +$\infty$.
Giải
Ta có .png)
(do q > 1) mà q > 0 nên lim$q^{n}$ = +$\infty$
15. Tìm giới hạn của các dãy số ($u_{n}$) với :
.png)
Giải
.png)
16. Tìm các giới hạn sau
.png)
Giải
.png)
.png)
17. Tìm các giới hạn sau :
.png)
Giải
.png)
18. Tìm các giới hạn sau :
.png)
Hướng dẫn : Nhân và chia biểu thức đã cho với .png)
.png)
Hướng dẫn : Nhân tử và mẫu của phân thức đã cho với .png)
.png)
Giải
.png)
.png)
19. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là .png)
tổng ba số hạng đầu tiên của nó là .png)
Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số đó.
Giải
Ta có
.png)
.png)
20. Bông tuyết Vôn Kốc
Ta bắt đầu từ một tam giác đều ABC, cạnh a. Chia mỗi cạnh của tam giác ABC làm ba đoạn thẳng bằng nhau. Trên mỗi đoạn thẳng ở giữa, dựng một tam giác đều nằm ngoài tam giác ABC rồi xóa đáy của nó, ta được đường gấp khúc khép kín $H_{1}$. Chia mỗi cạnh của $H_{1}$ rồi xóa đáy của nó, ta được đường gấp khúc khép kín $H_{2}$. Tiếp tục như vậy, ta được một hình giống như bông tuyết, gọi là bông tuyết Vôn Kốc (hình vẽ).
.png)
a) Gọi $p_{1}$, $p_{2}$,...,$p_{n}$ là độ dài của $H_{1}$, $H_{2}$,..., $H_{n}$,... Chứng minh rằng ($p_{n}$) là một cấp số nhân. Tìm lim$p_{n}$
b) Gọi $S_{n}$ là diện tích của miền giới hạn bởi đường gấp khúc $H_{n}$. Tính $S_{n}$ và tìm giới hạn của dãy số ($S_{n}$)
Hướng dẫn: Số cạnh của $H_{n}$ là 3.$4^{n}$. Tìm độ dài mỗi cạnh của $H_{n}$, từ đó tính $p_{n}$. Để tính $S_{n}$ cần chú ý rằng muốn có $H_{n+1}$ chỉ cần thêm vào một tam giác đều nhỏ trên mỗi cạnh của $H_{n}$.
.png)
Giải
a) Số cạnh của $H_{n}$ là 3.$4^{n}$.
Độ dài mỗi cạnh của $H_{n}$ là .png)
Do đó độ dài của $H_{n}$ là .png)
Vậy dãy số ($p_{n}$) là một cấp số nhân và lim$p_{n}$ = $+\infty$
b) Diện tích tam giác ABC cạnh a là .png)
.png)
Bằng phương pháp qui nạp, ta được :
.png)
Cộng từng vế n đẳng thức trên, ta được :
.png)
Vế phải của (1) là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là .png)
và công bội là .png)
Tổng của cấp số nhân này là :
.png)
.png)
BÀI TẬP LÀM THÊM
1. Tính các giới hạn sau :
.png)
Đáp số :
a) - 3;
b) 0
c) 7
2. Tính các giới hạn :
.png)
Hướng dẫn:
.png)
3.
.png)
Tính A theo S và T
Đáp số: .png)