CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

11. Tìm cực trị của các hàm số sau :

Hướng dẫn giải

a) CÁCH 1. (Áp dụng quy tắc 1)

f' = + 4x + 3 = 0 ⇔ = -3, = -1

Bảng xét dấu của y':

Dấu của y' chuyển từ dương sang âm khi x chuyển qua x = -3. Hàm số đạt cực đại tại x = -3, = f(-3) = -1.

Dấu của y' chuyển từ âm sang dương khi x chuyển qua x = -1. Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1, = f(-1) = .

CÁCH 2. (Áp dụng quy tắc 2)

f'(x) = + 4x + 3 = 0 ⇔ = -3, = -1.

f"(x) = 2x + 4

f"(-3) = -2 < 0. Hàm số đạt cực đại tại x = -3.

f"(-1) = 2 > 0. Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1, = f(-1) = .

b) f'(x) = – 2x + 2 > 0, . Hàm số không có cực trị.

c) f'(x) = 1 - = 0 ⇔ = -1, = 1,

f"(x) = .

f"(-1) < 0. Hàm số đạt cực đại tại x = -1, = f(-1) = -2.

f"(1) > 0. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, = f(1) = 2.

d)

Hàm số liên tục tại x = 0, không có đạo hàm tại x = 0.

Bảng biến thiên :

Hàm số đạt cực đại tại x = -1, = f(-1) = 1.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, = f(0) = 0.

e) f'(x) = = 0 ⇔ = 0, = -1, = 1.

Đạo hàm không đổi dấu khi x qua = 0. Hàm số không đạt cực trị tại x = 0.

Khi x qua = -1, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm. Hàm số đạt cực đại tại x = -1, = f(-1) =

Khi x qua = 1, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương. Hàm số đạt cực tiểu tại = 1, = f(1) = .

f) f'(x) = = 0 ⇔ = 0, = 2

= f(0) = -3, = f(2) = 1.

12. Tìm cực trị của các hàm số sau :

a)

b)

c) y = x - sin2x + 2

d) y = 3 - 2cosx - cos2x.

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định D = [-2; 2].

b) Tập xác định D = .

f'(x) = = 0 ⇔ x = 0.

= f(0) = .

c) Tập xác định D = R.

f'(x) = 1 - 2cos2x = 0 ⇔

f"(x) = 4sin2x

Hàm số f(x) đạt cực đại tại với

Hàm số đạt cực tiểu tại

với

d) Tập xác định D = R.

f'(x) = 2sinx + 2sin2x = 0 ⇔ 2sinx(1+2cosx) = 0 ⇔

f"(x) = 2cosx + 4cos2x

Hàm số đạt cực đại tại

với

f" > 0. Hàm số đạt cực tiểu tại x = với

13. Tìm các hệ số a, b, c, d của hàm số : f(x) = sao cho hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x = 0, f(0) = 0 đạt cực đại tại điểm x = 1, f(1) = 1.

Hướng dẫn giải

Hàm số có tập xác định D = R.

f'(x) = ; f''(x) = 6ax + 2b.

Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x = 0, nếu

Hàm số đạt cực đại tại x = 1, nếu

Từ điều kiện f(0) = 0 suy ra : d = 0 (3)

Từ điều kiện f(1) = 1 suy ra : a + b + c + d = 1 (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra : a = -2, b = 3, c = 0, d = 0.

14. Xác định các hệ số a, b, c sao cho hàm số : f(x) = đạt cực trị bằng 0 tại điểm x = -2 và đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1; 0).

Hướng dẫn giải

Hàm số đạt cực trị bằng 0 tại x = -2, nếu :

Hàm số có đồ thị đi qua điểm A(1; 0) tương đương với

f(1) = 1 + a + b + c = 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra : a = 3, b = 0, c = -4.

15. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, hàm số :

luôn có cực đại và cực tiểu.

Hướng dẫn giải

Tập xác định D = R\{m}.

Với mọi giá trị của m, đạo hàm của hàm số luôn có hai nghiệm = m - 1, = m + 1 thuộc tập xác định. Dấu của đạo hàm đổi từ dương sang âm khi qua = m - 1 nên đạt cực đại tại = m - 1. Đạo hàm thay dấu từ âm sang dương khi x đi qua = m + 1. Hàm số đạt cực tiểu tại = m + 1.