CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG 1
68. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) tanx > x, với mọi .png)
b) tanx > x + .png)
với mọi .png)
Hướng dẫn :
a) Chứng minh rằng hàm số f(x) = tanx - x đồng biến trên nửa khoảng .png)
Hướng dẫn giải
a) Xét hàm số f(x) = tanx - x trên .png)
Ta thấy f(x) liên tục trên .png)
.png)
Hàm số f(x) đồng biến trên .png)
, lại có f(0) = 0, suy ra:
f(x) > f(0) = 0, .png)
hay tanx > x,
b) Xét hàm số g(x) = tanx - x - .png)
xác định, liên tục, có đạo hàm tại mọi x trên .png)
Ta có :
.png)
(vì theo câu a) tanx > x, .png)
Hàm số g(x) đồng biến trên .png)
và g(0) = 0, suy ra:
g(x) > 0, .png)
hay tanx > x + .png)
, .png)
69. Xét chiều biến thiên và tìm cực trị (nếu có) của các hàm số sau:
.png)
Hướng dẫn giải
a) Tập xác định .png)
Hàm số đồng biến trên tập xác định, không có cực trị.
b) Tập xác định D = [0; 4].
.png)
. Hàm số đồng biến trong [0; 2], nghịch biến trong [2; 4].
Đạt cực đại tại x = 2. Giá trị cực đại .png)
= 2.
c) Tập xác định .png)
.png)
Hàm số đồng biến trên tập xác định. Không có cực trị.
d) Tập xác định .png)
Hàm số nghịch biến trong .png)
đồng biến trong .png)
đạt cực tiểu tại .png)
. Giá trị cực tiểu .png)
70. Người ta định làm một cái hộp kim loại hình trụ có thể tích V cho trước. Tìm bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ sao cho ít tốn nguyên liệu nhất.
Hướng dẫn giải
Gọi x là bán kính đáy. Để hộp có thể tích V thì chiều cao của hộp là
.png)
Lượng kim loại để làm hộp bằng diện tích toàn phần của hộp:
.png)
Xét sự biến thiên của S(x).
.png)
.png)
Bảng biến thiên :
.png)
Từ bảng biến thiên, suy ra kết quả cần tìm .png)
71. Chu vi của một tam giác là 16cm, độ dài một cạnh tam giác là 6cm. Tìm độ dài hai cạnh còn lại của tam giác sao cho tam giác có diện tích lớn nhất.
Hướng dẫn : Có thể áp dụng công thức Hê-rông (Héron) để tính diện tích tam giác :
Nếu tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c thì diện tích của nó là
.png)
, p là nửa chu vi tam giác.
Hướng dẫn giải
Gọi một cạnh còn lại của tam giác là x, cạnh còn lại thứ hai là y ta có :
x + y + 6 = 16 => y = 10 - x
Theo công thức Hêrông, diện tích tam giác sẽ là :
.png)
Bảng biến thiên :
.png)
Kết luận : Diện tích tam giác lớn nhất khi mỗi cạnh còn lại dài 5cm.
72. Cho hàm số : .png)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
b) Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn giải
a) Tập xác định D = R.
.png)
Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
y' = .png)
- 4x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 4.
Bảng biến thiên :
.png)
Hàm số đồng biến trong các khoảng .png)
nghịch biến trong khoảng (0; 4). Điểm cực đại : .png)
. Điểm cực tiểu N(4; -5). Điểm uốn .png)
b) Bởi vì các giá trị cực đại và cực tiểu trái dấu nhau. Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt, có nghĩa là phương trình f(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt.
73. Cho hàm số : f(x) = .png)
+ px + q.
a) Tìm điều kiện đối với p và q để hàm số f có một cực đại và một cực tiểu?
b) Chứng minh rằng nếu giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu thì phương trình : + px + q = 0 (1) có ba nghiệm phân biệt.
c) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt là : .png)
Hướng dẫn giải
a) .png)
. Nếu p < 0 phương trình .png)
có hai nghiệm phân biệt thì hàm số f có một cực đại, một cực tiểu.
b) Theo câu b) bài 72.
c) Ắt có phương trình f(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt thì đồ thị hàm số có hai cực trị trái dấu :
.png)
Theo câu b) phương trình f(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt.
74. Cho hàm số : f(x) = .png)
- 3x + 1.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn U của nó.
c) Gọi .png)
là đường thẳng đi qua điểm U và có hệ số góc m. Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng .png)
cắt đồ thị của hàm số đã cho tại ba điểm phân biệt.
Hướng dẫn giải
a) Bạn đọc tự giải.
b) y" = 6x = 0 ⇔ x = 0. Điểm uốn U(0; 1).
Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn : y = -3x + 1.
c) Phương trình đường thẳng : y = mx + 1.
Phương trình hoành độ giao điểm của và đồ thị hàm số là :
mx + 1 = .png)
- 3x + 1 ⇔ .png)
- (3 + m)x = 0 ⇔ .png)
Đường thẳng cắt đồ thị hàm số đã cho tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình .png)
có hai nghiệm khác 0. Điều này xảy ra nếu và chỉ nếu 3 + m > 0 ⇔ m > -3.
75. Cho hàm số .png)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2.
b) Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.
Hướng dẫn giải
a) Bạn đọc tự giải.
b) Điều kiện để đồ thị cắt trục hoành tại bốn điểm là phương trình: .png)
có bốn nghiệm.
Điều đó xảy ra khi .png)
m +1 > 0, m > 0 tương đương m > 0 và .png)
. Khi đó các nghiệm là .png)
. Để đồ thị cắt trục hoành thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.
• Nếu m > 1 ta phải có : .png)
- 1 = 1 - (-1) ⇔ m = 9.
• Nếu 0 < m < 1 ta phải có .png)
.png)
76. Cho hàm số : .png)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
b) Từ đồ thị của hàm số y = f(x) suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số .png)
Hướng dẫn giải
a) Tập xác định D = R; .png)
.png)
Bảng biến thiên :
.png)
Đồ thị (hình dưới).
.png)
.png)
⇒ Các điểm uốn
.png)
b) Đồ thị hàm số .png)
suy ra từ đồ thị hàm số y = f(x) bằng cách giữ nguyên phần đồ thị hàm số y = f(x) phía trên trục hoành và lấy ảnh đối xứng qua trục hoành của phần đồ thị hàm f(x) phía dưới trục hoành.
77. Cho hàm số: .png)
có đồ thị là .png)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 1.
b) Chứng minh rằng với mọi .png)
các đường cong đều đi qua hai điểm cố định A và B.
c) Chứng minh rằng tích các hệ số góc của các tiếp tuyến với tại hai điểm A và B là một hằng số khi m biến thiên.
Hướng dẫn giải
a) Bạn đọc tự giải.
.png)
.png)
Suy ra các đường cong với .png)
đều đi qua các điểm A(-2; 1) và B(2; -1) cố định.
c) .png)
. Tích các hệ số góc của các tiếp tuyến với tại A và B là : .png)
không phụ thuộc m.
78.a) Vẽ đồ thị .png)
của hàm số y = .png)
- x + 1 và đồ thị .png)
của hàm số .png)
.
b) Tìm giao điểm của hai đường cong và . Chứng minh rằng hai đường cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm của chúng.
c) Xác định các khoảng trên đó nằm phía trên hoặc phía dưới .png)
.
Hướng dẫn giải
a) Bạn đọc tự giải.
b) Phương trình hoành độ giao điểm của và :
.png)
Giao điểm của hai đường cong là A(0; 1). Ta có :
.png)
f'(0) = g'(0) = -1. Suy ra tại giao điểm của hai đường cong đó có tiếp tuyến chung.
c) nằm phía dưới trong khoảng (-1; 0); phía trên trong các khoảng .png)
.
79. Cho hàm số .png)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị .png)
của hàm số.
b) Tiếp tuyến của đường cong .png)
tại điểm .png)
cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại hai điểm A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB và tam giác OAB có diện tích không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên đường cong .
Hướng dẫn giải
a) Tập xác định D = R\{0}.
Tiệm cận đứng x = 0.
Tiệm cận xiên y = x.
.png)
Bảng biến thiên :
.png)
Không có điểm uốn. Đồ thị (hình dưới).
.png)
b) Phương trình tiếp tuyến với tại .png)
:
.png)
Tọa độ giao điểm của (d) với tiệm cận đứng : .png)
Tọa độ giao điểm của (d) với tiệm cận xiên : .png)
Tọa độ trung điểm của AB là .png)
Vậy M chính là trung điểm của AB.
Diện tích tam giác OAB là : .png)
không phụ thuộc tọa độ của M.