CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP ÔN CUỐI NĂM
I. BÀI TẬP TỰ LUẬN
1. a) Chứng minh rằng hàm số f(x) = .png)
– x – 1 đồng biến trên nửa khoảng .png)
b) Từ đó, suy ra > x + 1 với mọi x > 0.
Hướng dẫn giải
a) f'(x) = .png)
hơn nữa f'(x) = 0 chỉ tại x = 0, do đó hàm số f(x) = - x - 1 đồng biến trên
b) Do f(x) đồng biến trên .png)
nên f(x) > f(0) .png)
f(0) = .png)
– 1 - 0 = 0.
Suy ra - x - 1 > 0 ⇔ > x + 1 với mọi x > 0.
2. a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số .png)
b) Chứng minh rằng phương trình .png)
có nghiệm thực duy nhất.
c) Gọi nghiệm thực duy nhất của phương trình là .png)
Chứng minh rằng 3,5 < .png)
<3,6.
Hướng dẫn giải
a) Tập xác định D = R.
f'(x) = .png)
– 6x – 12 = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = 2.
Bảng biến thiên :
.png)
Từ bảng biến thiên cho thấy: hàm số đồng biến trong các khoảng .png)
và nghịch biến trong (-1; 2).
Điểm cực đại M(-1; -3).
Điểm cực tiểu N(2; -18).
Điểm uốn: Có f''(x) = 12x – 6 = 0 ⇔ x = $\large \frac{1}{2}$
Suy ra điểm uốn .png)
.png)
b) Đường cong (C) là đồ thị của hàm số .png)
chỉ cắt trục hoành tại một điểm duy nhất (đồ thị có 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về một phía của trục hoành) nên phương trình .png)
chỉ có một nghiệm duy nhất.
c) Hàm số .png)
liên tục trên R, do đó liên tục trên đoạn [3,5; 3,6]. Hơn nữa f(3,5) = -3; f(3,6) = 1,232; f(3,5).f(3,6) < 0, theo định lí về hàm số liên tục, phương trình .png)
có ít nhất một nghiệm c thuộc (3,5; 3,6).
3. Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = lnx và (D) là một tiếp tuyến bất kì của (C). Chứng minh rằng trên khoảng .png)
(C) nằm ở phía dưới của đường thẳng (D).
Hướng dẫn giải
y = f(x) = lnx; f'(x) = .png)
=; .png)
Đồ thị (C) của f(x) là đường cong luôn luôn lồi trên tập xác định. Do đó (C) luôn nằm phía dưới mọi tiếp tuyến của (C).
4. Một xưởng in có 8 máy in, mỗi máy in được 3600 bản in trong một giờ. Chi phí để vận hành một máy trong mỗi lần in là 50 nghìn đồng. Chi phí cho n máy chạy trong một giờ là 10(6n + 10) nghìn đồng.
Hỏi nếu in 50000 tờ quảng cáo thì phải sử dụng bao nhiêu máy để được lãi nhiều nhất ?
Hướng dẫn giải
Giả sử dụng n máy. Điều kiện .png)
Số bản in trong một giờ của n máy là : 3600n (bản in).
Thời gian để in 50000 tờ quảng cáo là .png)
Chi phí để chạy n máy trong t giờ là :
.png)
C'(n) < 0 với 0 < n < 5 và C'(n) > 0 với 8 > n > 5. Suy ra C(n) đạt cực tiểu với n = 5. Khi đó lãi đạt được nhiều nhất. Như vậy để được lãi nhiều nhất thì nên cho chạy 5 máy.
5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số .png)
trên đoạn [0; 1].
Hướng dẫn giải
.png)
+ x + 2 > 0 ⇔ -2 < x < 3. Tập xác định của hàm số : D = (-2; 3)
f(x) liên tục trên [0; 1] .png)
D.
.png)
Suy ra : .png)
6. a) Cho .png)
và hai số a, b thỏa mãn a + b = 1. Hãy tính P(a) + P(b).
b) Hãy so sánh A = .png)
và B = .png)
Hướng dẫn giải
a) .png)
a + b = 1 ⇒ b = 1 - a
.png)
Suy ra P(a) + P(b) = 1.
b)
.png)
7. a) Chứng minh rằng nếu a và b là hai số dương thỏa mãn .png)
thì: .png)
b) Biết a và b là hai số dương, .png)
sao cho .png)
Hãy tính .png)
Hướng dẫn giải
a) .png)
.png)
⇒ đpcm
.png)
8. a) Tính đạo hàm của các hàm số .png)
b) Chứng minh rằng hàm số .png)
thỏa mãn hệ thức .png)
Hướng dẫn giải
.png)
9. a) Vẽ đồ thị của các hàm số .png)
trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Hãy nêu nhận xét về vị trí tương đối của ba đồ thị đó.
b) Vẽ đồ thị hàm số .png)
Từ đó hãy suy ra đồ thị của hàm số .png)
và đồ thị của hàm số .png)
Hướng dẫn giải
a) Đồ thị của cả ba hàm số .png)
đều đi qua điểm (0; 1) và nằm phía trên trục hoành.
Để vẽ đồ thị các hàm số trên ta lập bảng giá trị các hàm số theo một số giá trị của biến như sau :
.png)
Nhận xét : Phía bên trái trục tung đồ thị hàm số .png)
nằm dưới các đồ thị của hai hàm số .png)
và .png)
. Đồ thị hàm số nằm giữa đồ thị của hai hàm số kia. Phía bên phải trục hoành đồ thị hàm số nằm trên cả hai đồ thị của hai hàm số và .
Đồ thị hàm số .png)
nằm giữa các đồ thị của hai hàm số kia.
.png)
b) Bạn tự vẽ.
Đồ thị hàm số .png)
suy ra từ đồ thị hàm số .png)
bằng phép tịnh tiến theo phương trục tung lên phía trên hai đơn vị.
Đồ thị hàm số .png)
suy ra từ đồ thị hàm số .png)
bằng phép tịnh tiến theo phương trục hoành về phía bên trái hai đơn vị.
10. Giải các phương trình và hệ phương trình sau :
.png)
Hướng dẫn giải
.png)
.png)
.png)
11. Tìm tập xác định của các hàm số sau :
.png)
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện xác định :
.png)
Vậy tập xác định của hàm số là D = (2; 3)
.png)
b) .png)
Phương trình tung độ giao điểm của hai đường cong :
.png)
⇔ y = -4, y = 5
Diện tích cần tính :
.png)
12.a) Cho hình thang cong A giới hạn bởi đồ thị hàm số .png)
trục hoành và các đường thẳng x = 0 và x = 1. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo được khi quay A quanh trục hoành.
b) Cho hình phẳng B giới hạn bởi parabol .png)
và đường thẳng y = 2. Tính thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay B quanh trục tung.
Hướng dẫn giải
.png)
.png)
13. Cho các số phức .png)
= 1 + i; .png)
= 1 - 2i. Hãy tính và biểu diễn hình học các số phức :
.png)
Hướng dẫn giải
.png)
Điểm biểu diễn : .png)
(hình dưới)
.png)
Điểm biểu diễn : .png)
.png)
Điểm biểu diễn : .png)
.png)
Điểm biểu diễn : .png)
.png)
Điểm biểu diễn : .png)
.png)
14. Tính:
.png)
Hướng dẫn giải
.png)
15.a) Xác định phần thực của số phức .png)
, biết rằng .png)
b) Chứng minh rằng nếu là số ảo thì .png)
= 1.
Hướng dẫn giải
a) Giả sử z = x + yi; |z| = 1 ⇔ .png)
.png)
Thay .png)
ta thấy phần thực của là 0.