CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau (từ bài 41 đến bài 43) :
.png)
Hướng dẫn giải
.png)
.png)
Hướng dẫn giải
.png)
43. .png)
Hướng dẫn giải
a) Đặt u = -x ⇒ du = -dx.
.png)
b) .png)
44. Tìm hàm số y = f(x) nếu biết .png)
Hướng dẫn giải
Ta biết y = f(x) ⇒ dy = f'(x)dx ⇒ f(x) là một nguyên hàm của dy.
Ta có : .png)
Như vậy tồn tại số .png)
sao cho .png)
.
Từ điều kiện f(1) = 3, ta có : .png)
⇒ .png)
= 3 - 8 = -5
Vậy .png)
45. Xác định số b dương để tích phân .png)
có giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn giải
.png)
biểu thị diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị .png)
và các đường thẳng x = 0, x = b.
Ta có : .png)
Phần diện tích của hình phẳng lớn nhất khi x = 1, tức là .png)
lớn nhất khi b = 1.
.png)
46. Cho biết .png)
. Hãy tìm:
.png)
Hướng dẫn giải
.png)
47. Cho hàm số f(x) liên tục trên [a; b]. Tỉ số .png)
được gọi là giá trị trung bình của hàm số f(x) trên [a; b] và được kí hiệu là m(f). Chứng minh rằng tồn tại điểm c .png)
(a; b) sao cho m(f) = f(c).
Hướng dẫn giải
Theo kết quả câu b) bài tập 13, nếu f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên [a; b] thỏa mãn f(x) < g(x) .png)
[a; b] thì .png)
.
Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của f(x) trên [a; b] ta có: .png)
Áp dụng kết quả bài tập 13, ta có :
.png)
Theo tính chất của hàm số liên tục, tồn tại c .png)
(a; b) để
.png)
48. Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi t = 0 (s) chuyển động thẳng với vận tốc v(t) = t(5 - t) (m/s). Tìm quãng đường vật đi được cho tới khi nó dừng lại.
Hướng dẫn giải
Vật thể dừng lại khi v(t) = t(5 - t) = 0 ⇒ t = 5.
Quãng đường vật đi được tới thời điểm dừng lại là :
.png)
49. Một chất điểm A xuất phát từ vị trí O, chuyển động nhanh dần đều, 8 giây sau nó đạt đến vận tốc 6m/s. Từ thời điểm đó nó chuyển động thẳng đều. Một chất điểm B xuất phát từ cùng vị trí O nhưng chậm hơn 12 giây so với A và chuyển động thẳng nhanh dần đều. Biết rằng B đuổi kịp A sau 8 giây (kể từ lúc B xuất phát). Tìm vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A.
Hướng dẫn giải
Gọi gia tốc trong chuyển động nhanh dần đều của chất điểm A là a thì vận tốc của A là v(t) = at. Tại thời điểm t = 8, ta có :
v(8) = a. 8 = 6 ⇒ .png)
Quãng đường A chuyển động được trong 8 giây đầu là :
.png)
Thời gian A chuyển động đều cho tới lúc gặp B là 12 giây.
Quãng đường A đi được trong chuyển động đều là .png)
= 6.12 = 72m.
Quãng đường A đi được từ lúc xuất phát đến lúc gặp B là :
S = .png)
= 24 + 72 = 96m
Gọi gia tốc của B là b thì vận tốc của B = .png)
= bt .
Quãng đường B đi được từ lúc xuất phát đến lúc gặp A là 96m.
Ta có :
.png)
Vận tốc của B tại thời điểm gặp A là : .png)
= 3.8 = 24m/s.
50. Tính các tích phân sau :
.png)
Hướng dẫn giải
.png)
.png)
51. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi :
a) Đồ thị các hàm số .png)
, y = -x + 2.
b) Các đường cong có phương trình .png)
Hướng dẫn giải
a) .png)
⇔ x=-1, x = 2
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị .png)
và y = -x + 2 là :
.png)
.png)
b) .png)
.png)
52. Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi :
a) Parabol .png)
tiếp tuyến với nó tại điểm M(3; 5) và trục tung.
b) Parabol .png)
và các tiếp tuyến của nó tại các điểm A(0; -3) và B(3; 0).
Hướng dẫn giải
a) Tiếp tuyến với parabol .png)
tại điểm M(3; 5) có phương trình:
y = y'(3)[x - 3] + 5 = 4x - 7
Diện tích cần tính là :
.png)
b) .png)
y' = -2x + 4
Tiếp tuyến với parabol tại A(0; -3) là :
y = y'(0)[x - 0] -3 = 4x - 3
Tiếp tuyến tại B(3; 0) là :
y = y'(3)(x - 3) + 0 = -2x + 6
Hoành độ giao điểm của hai tiếp tuyến:
4x - 3 = -2x + 6 ⇔ x = .png)
Diện tích của hình phẳng cần tính :
.png)
.png)
53. Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = 2, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x .png)
là một nửa hình tròn đường kính .png)
Hướng dẫn giải
.png)
54. Xét hình giới hạn bởi đường hyperbol .png)
và các đường thẳng y = 1, y = 4, x = 0. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình đó quanh trục tung.
Hướng dẫn giải
.png)
Thể tích cần tính : .png)
55. Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đồ thị hàm số .png)
.png)
và hai trục tọa độ. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay A quanh trục hoành.
Hướng dẫn giải
.png)
56. Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đường cong có phương trình x(y + 1) = 2 và các đường thẳng x = 0, y = 0, y = 3. Tính thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay A quanh trục tung.
Hướng dẫn giải
.png)
57. Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đường cong có phương trình .png)
và các đường thẳng y = 2, x = 0. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay A:
a) quanh trục hoành;
b) quanh trục tung.
Hướng dẫn giải
a) Thể tích khối tròn xoay khi quay hình A quanh Ox :
.png)
b) Thể tích khối tròn xoay do quay hình A quanh trục Oy :
.png)
.png)
58. Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đường cong có phương trình .png)
và các đường thẳng x = 1, x = 2, y = 0. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay A quanh trục hoành.
Hướng dẫn giải
.png)
59. Cho hình phẳng A được tạo bởi đường cong có phương trình .png)
và các đường thẳng y = 0, x = 1. Tính thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay A :
a) quanh trục hoành;
b) quanh trục tung.
Hướng dẫn giải
a) Thể tích khối tròn xoay do quay A quanh Ox :
.png)
b) Thể tích khối tròn xoay do quay quanh Oy miền phẳng giới hạn bởi :.png)
; x = 0; y = 0; y = 1 là:
.png)
Thể tích khối tròn xoay do quay miền A quanh Oy là:
.png)