CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau (từ bài 41 đến bài 43) :

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

43.

Hướng dẫn giải

a) Đặt u = -x ⇒ du = -dx.

b)

44. Tìm hàm số y = f(x) nếu biết

Hướng dẫn giải

Ta biết y = f(x) ⇒ dy = f'(x)dx ⇒ f(x) là một nguyên hàm của dy.

Ta có :

Như vậy tồn tại số sao cho .

Từ điều kiện f(1) = 3, ta có : = 3 - 8 = -5

Vậy

45. Xác định số b dương để tích phân có giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn giải

biểu thị diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và các đường thẳng x = 0, x = b.

Ta có :

Phần diện tích của hình phẳng lớn nhất khi x = 1, tức là lớn nhất khi b = 1.

46. Cho biết . Hãy tìm:

Hướng dẫn giải

47. Cho hàm số f(x) liên tục trên [a; b]. Tỉ số được gọi là giá trị trung bình của hàm số f(x) trên [a; b] và được kí hiệu là m(f). Chứng minh rằng tồn tại điểm c (a; b) sao cho m(f) = f(c).

Hướng dẫn giải

Theo kết quả câu b) bài tập 13, nếu f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên [a; b] thỏa mãn f(x) < g(x) [a; b] thì .

Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của f(x) trên [a; b] ta có:

Áp dụng kết quả bài tập 13, ta có :

Theo tính chất của hàm số liên tục, tồn tại c (a; b) để

48. Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi t = 0 (s) chuyển động thẳng với vận tốc v(t) = t(5 - t) (m/s). Tìm quãng đường vật đi được cho tới khi nó dừng lại.

Hướng dẫn giải

Vật thể dừng lại khi v(t) = t(5 - t) = 0 ⇒ t = 5.

Quãng đường vật đi được tới thời điểm dừng lại là :

49. Một chất điểm A xuất phát từ vị trí O, chuyển động nhanh dần đều, 8 giây sau nó đạt đến vận tốc 6m/s. Từ thời điểm đó nó chuyển động thẳng đều. Một chất điểm B xuất phát từ cùng vị trí O nhưng chậm hơn 12 giây so với A và chuyển động thẳng nhanh dần đều. Biết rằng B đuổi kịp A sau 8 giây (kể từ lúc B xuất phát). Tìm vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A.

Hướng dẫn giải

Gọi gia tốc trong chuyển động nhanh dần đều của chất điểm A là a thì vận tốc của A là v(t) = at. Tại thời điểm t = 8, ta có :

v(8) = a. 8 = 6 ⇒

Quãng đường A chuyển động được trong 8 giây đầu là :

Thời gian A chuyển động đều cho tới lúc gặp B là 12 giây.

Quãng đường A đi được trong chuyển động đều là = 6.12 = 72m.

Quãng đường A đi được từ lúc xuất phát đến lúc gặp B là :

S = = 24 + 72 = 96m

Gọi gia tốc của B là b thì vận tốc của B = = bt .

Quãng đường B đi được từ lúc xuất phát đến lúc gặp A là 96m.

Ta có :

Vận tốc của B tại thời điểm gặp A là : = 3.8 = 24m/s.

50. Tính các tích phân sau :

Hướng dẫn giải

51. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi :

a) Đồ thị các hàm số , y = -x + 2.

b) Các đường cong có phương trình

Hướng dẫn giải

a) ⇔ x=-1, x = 2

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và y = -x + 2 là :

b)

52. Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi :

a) Parabol tiếp tuyến với nó tại điểm M(3; 5) và trục tung.

b) Parabol và các tiếp tuyến của nó tại các điểm A(0; -3) và B(3; 0).

Hướng dẫn giải

a) Tiếp tuyến với parabol tại điểm M(3; 5) có phương trình:

y = y'(3)[x - 3] + 5 = 4x - 7

Diện tích cần tính là :

b) y' = -2x + 4

Tiếp tuyến với parabol tại A(0; -3) là :

y = y'(0)[x - 0] -3 = 4x - 3

Tiếp tuyến tại B(3; 0) là :

y = y'(3)(x - 3) + 0 = -2x + 6

Hoành độ giao điểm của hai tiếp tuyến:

4x - 3 = -2x + 6 ⇔ x =

Diện tích của hình phẳng cần tính :

53. Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = 2, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x là một nửa hình tròn đường kính

Hướng dẫn giải

54. Xét hình giới hạn bởi đường hyperbol và các đường thẳng y = 1, y = 4, x = 0. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình đó quanh trục tung.

Hướng dẫn giải

Thể tích cần tính :

55. Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đồ thị hàm số và hai trục tọa độ. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay A quanh trục hoành.

Hướng dẫn giải

56. Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đường cong có phương trình x(y + 1) = 2 và các đường thẳng x = 0, y = 0, y = 3. Tính thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay A quanh trục tung.

Hướng dẫn giải

57. Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đường cong có phương trình và các đường thẳng y = 2, x = 0. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay A:

a) quanh trục hoành;

b) quanh trục tung.

Hướng dẫn giải

a) Thể tích khối tròn xoay khi quay hình A quanh Ox :

b) Thể tích khối tròn xoay do quay hình A quanh trục Oy :

58. Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đường cong có phương trình và các đường thẳng x = 1, x = 2, y = 0. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay A quanh trục hoành.

Hướng dẫn giải

59. Cho hình phẳng A được tạo bởi đường cong có phương trình và các đường thẳng y = 0, x = 1. Tính thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay A :

a) quanh trục hoành;

b) quanh trục tung.

Hướng dẫn giải

a) Thể tích khối tròn xoay do quay A quanh Ox :

b) Thể tích khối tròn xoay do quay quanh Oy miền phẳng giới hạn bởi : ; x = 0; y = 0; y = 1 là:

Thể tích khối tròn xoay do quay miền A quanh Oy là: