§2. Cực trị của hàm số
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Khái niệm cực trị của hàm số
Giả sử hàm số f(x) xác định trên tập hợp D .png)
R và .png)
D.
a) .png)
là điểm cực đại của hàm số f nếu có khoảng (a; b) D sao cho (a; b) và f(x) < f(), .png)
. Khi đó f() là giá trị cực đại của f.
b) là điểm cực tiểu của hàm số f nếu có (a; b) D sao cho (a; b) và f(x) > f(), .png)
. Khi đó f() là giá trị cực tiểu của f.
Giá trị cực đại và cực tiểu gọi chung là cực trị.
2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị
Định lí 1: Hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm . Khi đó, nếu f(x) có đạo hàm tại thì f'() = 0.
3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
Định lí 2: Giả sử hàm số f(x) liên tục trên (a; b) chứa điểm và có đạo hàm trên các khoảng (a; ) và (; b). Khi đó :
a) Nếu f'(x) < 0, .png)
(a; ) và f'(x) > 0, (; b) thì f(x) đạt cực tiểu tại điểm .
b) Nếu f'(x) > 0, (a; ) và f'(x) < 0, (; b) thì f(x) đạt cực đại tại điểm .
Định lí 3: Giả sử hàm số có đạo hàm cấp một trên (a; b) chứa điểm , f'() = 0 và f(x) có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm .
a) Nếu f'' () < 0 thì hàm số đạt cực đại tại .
b) Nếu f''() > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm .
4. Quy tắc tìm cực trị
Quy tắc 1 (Áp dụng định lí 2):
1. Tìm f'(x).
2. Tìm các điểm .png)
(i = 1, 2, ...) tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
3. Xét dấu của f'(x), Nếu f'(x) đổi dấu khi x qua điểm .png)
thì hàm số có cực trị tại .png)
.
Quy tắc 2 (Áp dụng định lí 3):
1. Tìm f'(x).
2. Tìm các nghiệm (i = 1, 2, ...) của phương trình f'(x) = 0.
3. Với mỗi tính f''().
- Nếu f''() < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm .
- Nếu f''() > 0 thì hàm số cực tiểu tại điểm .