CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
1. Cho các số phức : 2 + 3i; 1 + 2i; 2 - i.
a) Biểu diễn các số đó trong mặt phẳng phức.
b) Viết số phức liên hợp của mỗi số đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức.
c) Viết số đối của mỗi số phức đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức.
Hướng dẫn giải
a) Bạn tự vẽ.
b) .png)
= 2-3i; .png)
= 1 -2i; .png)
= 2 + i
c) -(2 + 3i) = -2 - 3i; -(1 + 2i) = -1 - 2i; -(2 - i) = -2 + i.
2. Xác định phần thực và phần ảo của các số sau :
i + (2 - 4i) – (3 – 2i); .png)
; (2 + 3i)(2 – 3i); i(2 - i)(3 + i).
Hướng dẫn giải
a) .png)
= i + (2 - 4i) - (3 - 2i) = (2-3) + (1 - 4 + 2)i = -1- i
Phần thực của .png)
là -1, phần ảo của .png)
là -1.
b) .png)
Phần thực của .png)
là -7, phần ảo là .png)
c) .png)
= (2 + 3i)(2-3i) = .png)
= 13
Phần thực của là 13, phần ảo bằng 0.
d) .png)
= i(2 - i)(3 + i) = (1 + 2i)(3 + i) = 1 + 7i
Phần thực của .png)
là 1, phần ảo là 7.
3. Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt phẳng phức biết rằng một đỉnh biểu diễn số i.
Hướng dẫn giải
Xem hình. Số phức biểu diễn bởi :
đỉnh A: i ; đỉnh B: .png)
đỉnh C: .png)
; đỉnh D: -i
đỉnh E: .png)
; đỉnh G: .png)
.png)
4. Thực hiện phép tính:
.png)
Hướng dẫn giải
.png)
5. Cho .png)
. Hãy tính: .png)
Hướng dẫn giải
.png)
6. Chứng minh :
a) Phần thực của số phức z bằng .png)
, phần ảo của số phức z bằng .png)
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi .png)
c) Với mọi số phức z, z', ta có :.png)
Hướng dẫn giải
a) z = a + bi, .png)
= a - bi
.png)
là phần thực của z
.png)
là phản ảo của z.
b) Giả sử z = a + bi thì .png)
= -a + bi
.png)
⇔ a = 0, b tùy ý
⇒ z là số ảo hoặc z = 0.
Đảo lại, z là số ảo thì z = bi với .png)
Khi đó .png)
c) Giả sử z = a + bi, z' = c + di
.png)
Từ (1) và (2) ta có : .png)
7. Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có :
.png)
Hướng dẫn giải
Với .png)
ta có :
.png)
8. Chứng minh rằng :
a) Nếu vectơ .png)
của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì độ dài của vectơ .png)
là .png)
, và từ đó nếu các điểm .png)
theo thứ tự biểu diễn các số phức .png)
thì .png)
b) Với mọi số phức z, z', ta có .png)
và khi .png)
thì .png)
c) Với mọi số phức z, z', ta có : .png)
Hướng dẫn giải
a) Giả sử .png)
lần lượt được biểu diễn trên phẳng phức bởi các điểm .png)
Khi đó : .png)
.png)
Mặt khác : .png)
Theo định nghĩa mođun của số phức :
.png)
Từ (1) và (2) suy ra : .png)
.png)
b) Ta có : z = a + bi, z' = c + di thì zz' = (ac – bd) + (ad + bc)i
.png)
Vì .png)
Từ (3) suy ra: .png)
c) Ta chứng minh bất đẳng thức :
.png)
Bất đẳng thức (5) đúng, do đó (4) đúng. Điều đó có nghĩa là :
.png)
9. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau:
.png)
Hướng dẫn giải
a) Giả sử z = x + yi, z - i = x + (y - 1)i
.png)
Như vậy, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z = x + yi thỏa mãn .png)
nằm trên đường tròn tâm A(0; 1) bán kính R = 1.
.png)
b)
.png)
Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện đã cho là trục hoành.
c) Ta có : .png)
Theo tính chất hai số phức liên hợp có mođun bằng nhau, ta có :
.png)
Theo kết quả bài 6, vế trái (2) là độ dài của vectơ .png)
, vế phải (2) là độ dài vectơ .png)
trong đó M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z, A(3; 4) là điểm biểu diễn số phức 3 + 4i. Hệ thức (2) chứng tỏ tập hợp các số phức z = x + yi có các điểm biểu diễn nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng OA (hình dưới).
.png)
10. Chứng minh rằng với mọi số phức .png)
, ta có :
.png)
Hướng dẫn giải
Ta có : .png)
Từ đó suy ra đpcm.
11. Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý cho trước sao cho biểu thức xác định) ?
.png)
Hướng dẫn giải
.png)
12. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau :
a) .png)
là số thực âm
b).png)
là số ảo
c) .png)
d) .png)
là số ảo.
Hướng dẫn giải
a) .png)
là số thực âm khi
.png)
Tập hợp các điểm nằm trên trục ảo trừ điểm 0.
b) là số ảo khi .png)
Tập hợp các điểm trên đường phân giác của các góc phần tư mặt phẳng phức trừ điểm gốc O.
c) .png)
⇔ xy = 0 ⇔ x = 0, y tùy ý hoặc y = 0, x tùy ý
tức là các điểm thuộc trục thực hoặc trục ảo.
d) .png)
là số ảo khi x = 0, y – 1 .png)
0.
Tập hợp các điểm M là trục ảo trừ điểm A(0; 1).
13. Tìm nghiệm phức của các phương trình sau:
a) iz + 2 - i = 0
b) (2 + 3i)z = z - 1
.png)
d) .png)
e) .png)
Hướng dẫn giải
.png)
14.a) Cho số phức z = x + yi (x, y .png)
R). Khi .png)
hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức .png)
b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện .png)
là số thực dương.
Hướng dẫn giải
.png)
Tập hợp các điểm thỏa mãn nằm trên trục ảo ngoài đoạn [-i; i].
15.a) Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn các số phức .png)
Hỏi trọng tâm của tam giác ABC biểu diễn số phức nào ?
b) Xét ba điểm A, B, C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân biệt .png)
thỏa mãn .png)
Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi .png)
Hướng dẫn giải
a) Giả sử .png)
biểu diễn bởi A, B, C thì tọa độ của các điểm đó là .png)
Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ .png)
biểu diễn số phức
.png)
b) Từ điều kiện .png)
chứng tỏ A, B, C nằm trên một đường tròn tâm O bán kính .png)
• Nếu ABC là tam giác đều thì tâm O là trọng tâm của tam giác ABC. Theo tính chất của trọng tâm ta có :
.png)
• Đảo lại, nếu .png)
ta có :
.png)
Điểm D cũng nằm trên đường tròn ngoại tiếp .png)
OADB là hình bình hành có OA = OB = BD = DA). Các tam giác OAD và OBD là các tam giác đều. Suy ra sđ .png)
= 120°. Làm tương tự ta chứng minh được sđ .png)
= 120°. Suy ra .png)
đều.
.png)
16. Đố vui : Trong mặt phẳng phức cho các điểm: O (gốc tọa độ), A biểu diễn số 1, B biểu diễn số phức z không thực, A' biểu diễn số phức .png)
và B' biểu diễn số phức zz'. Hai tam giác OAB, OA'B' có phải là hai tam giác đồng dạng không ?
Hướng dẫn giải
Ta có : .png)
Theo kết quả bài 8, ta có :
.png)
.png)
Từ các kết quả trên suy ra:
.png)
.png)