CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
17. Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau: -i; 4i; -4; .png)
Hướng dẫn giải
a) Gọi z = x + yi là căn bậc hai của -i = 0 + (-1)i. Ta có :
.png)
.png)
Do xy <0 nên .png)
Suy ra căn bậc hai của -i là .png)
b) Giải hệ phương trình:
.png)
Căn bậc hai của 4i là .png)
c) Ta có : .png)
⇒ Căn bậc hai của -4 là .png)
d) Để tìm căn bậc hai của .png)
ta giải hệ phương trình :
.png)
Căn bậc hai của .png)
18. Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của số phức w thì .png)
Hướng dẫn giải
z = x + yi là căn bậc hai của w = a + bi thì .png)
với :
.png)
.png)
19. Giải các phương trình bậc hai sau:
.png)
Hướng dẫn giải
.png)
20.a) Hỏi công thức Viet về phương trình bậc hai với hệ số thực có còn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không ? Vì sao ?
b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 - i và tích của chúng bằng 5(1 - i).
c) Có phải mọi phương trình bậc hai .png)
+ Bz + C = 0 (B, C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực ? Vì sao ? Điều ngược lại có đúng không?
Hướng dẫn giải
a) Công thức Viet về phương trình bậc hai với hệ số thực vẫn đúng trong trường hợp hệ số phức.
b) Theo định lí Viet, hai số phức cần tìm là nghiệm của phương trình :
.png)
- (4 - i)z + 5(1 - i) = 0 (1)
Giải phương trình (1): .png)
với .png)
là căn bậc hai của .png)
Giả sử = x + yi, ta có :
.png)
c) Từ định lí Viet suy ra B và C phải là các số thực. Điều ngược lại vẫn đúng.
21.a) Giải phương trình : .png)
b) Tìm số phức B để phương trình bậc hai .png)
+ Bz + 3i = 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.
Hướng dẫn giải
a)
.png)
Tập nghiệm của phương trình đã cho là .png)
b) Theo định lí Viet, ta có :
.png)
với .png)
là căn bậc hai của 8 + 6i.
Từ đó tìm được .png)
22. Đố vui : Một học sinh kí hiệu một căn bậc hai của -1 là .png)
và tìm cách tính .png)
a) Theo định nghĩa của căn bậc hai của -1 thì .png)
b) Theo tính chất của căn bậc hai (tích của hai căn bậc hai của hai số bằng căn bậc hai của tích hai số đó), ta có :
.png)
Học sinh đó suy ra -1 = 1.
Hãy tìm điều sai trong lập luận trên.
Hướng dẫn giải
Bạn tự giải với lưu ý rằng với a, b .png)
R, ab > 0 thì .png)
23. Tìm nghiệm phức của phương trình .png)
trong các trường hợp sau:
a) k=1
b) k = .png)
c) k = 2i.
Hướng dẫn giải
.png)
.png)
24. Giải các phương trình sau trên C (tức là tìm nghiệm phức của các phương trình đó) và biểu diễn hình học tập hợp các nghiệm của mỗi phương trình (trong mặt phẳng phức):
.png)
Hướng dẫn giải
a)
.png)
Tập hợp các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình là các đỉnh của tam giác đều ABC với A(-1; 0), .png)
.png)
b)
.png)
Các điểm biểu diễn các nghiệm là các đỉnh A, B, C, D của hình vuông nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R = 1 với đỉnh A(1; 0), B(0; 1), C(-1; 0), D(0; -1).
.png)
c)
.png)
Các điểm biểu diễn là các đỉnh của hình vuông ADBC với A(1; 1), B(-1; -1), C(1; -1), D(-1; 1).
.png)
d)
.png)
Bạn tự vẽ các điểm biểu diễn.
25.a) Tìm các số thực b, c để phương trình (với ẩn z): .png)
+ bz + c = 0 nhận z = 1+ i làm một nghiệm.
b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z): .png)
nhận z = 1 + i làm nghiệm và cũng nhận z = 2 làm nghiệm.
Hướng dẫn giải.
a) Nếu z = 1 + i là nghiệm thì : .png)
.png)
Ghi chú : Một phương trình bậc hai với hệ số thực, nếu có một nghiệm phức z thì cũng nhận .png)
làm nghiệm. Vậy nếu z = 1 + i là một nghiệm thì .png)
= 1- i cũng là nghiệm. Theo định lí Viet:
(1 + i) + (1 - i) = -b ⇒ b = -2
(1 + i)(1 - i) = 2 = c.
b) z = 1+ i là nghiệm thì :.png)
z = 2 là nghiệm thì : 8 + 4a + 2b + c = 0.
Từ đó ta có hệ phương trình :
.png)
26.a) Dùng công thức cộng trong lượng giác để chứng minh rằng với mọi số thực .png)
ta có : .png)
Từ đó hãy tìm mọi căn bậc hai của số phức .png)
Hãy so sánh cách giải này với cách giải trong bài học ở §2.
b) Tìm các căn bậc hai của .png)
bằng hai cách nói ở câu a).
Hướng dẫn giải
a) Giả sử : .png)
.png)
Từ đó suy ra : .png)
là các căn bậc hai của .png)
b) Ta có: .png)
Áp dụng kết quả câu a) ta được kết quả các căn bậc hai của .png)
là .png)