CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
10. Không tìm nguyên hàm, hãy tính các tích phân sau:
Hướng dẫn giải
a) Hàm số .png)
liên tục và không âm trên đoạn [-2; 4], theo định lí 1 thì .png)
là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số .png)
trục hoành và các đường thẳng x = -2, x = 4. Đó chính là diện tích hình thang vuông ABCD (xem hình dưới).
.png)
.png)
(AB + CD).BC
= .png)
[y(-2) + y(4)].[4 - (-2)]
= (2+5).6 = 21 đvdt
Vậy .png)
b) Lập luận như câu a)
.png)
bằng tổng diện tích của hai tam giác OAB và OCD (xem hình dưới).
.png)
.png)
c) .png)
là phương trình của nửa đường tròn .png)
nằm phía trên trục Ox.
Lập luận như các câu a, b, ta có :
.png)
.png)
11. Cho biết .png)
Hãy tính :
.png)
Hướng dẫn giải
a) Theo tính chất của tích phân :
.png)
12. Cho biết .png)
Hãy tính .png)
Hướng dẫn giải
Vì tích phân không phụ thuộc vào chữ kí hiệu biến số lấy tích phân, nghĩa là : .png)
Do đó : .png)
13.a) Chứng minh rằng nếu .png)
trên [a; b] thì .png)
b) Chứng minh rằng nếu .png)
trên [a; b] thì .png)
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện để tồn tại .png)
là f(x) liên tục trên [a; b] (hoặc chỉ có một số hữu hạn các điểm gián đoạn và không có giới hạn vô cực tại .png)
[a; b]).
Khi đó, với .png)
trên [a; b], .png)
là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị f(x), trục Ox và các đường thẳng x = a, x = b, là một số thực không âm, nghĩa là .png)
b) Ta có : .png)
trên [a; b] tương đương với h(x) = f(x) - g(x) .png)
0 trên [a; b]. Theo câu a) thì :
.png)
14.a) Một vật chuyển động với vận tốc v(t) = 1 - 2sin2t (m/s). Tính quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t = 0 (s) đến thời điểm .png)
b) Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = 160 – 10t(m/s). Tính quãng đường mà vật di chuyển từ thời điểm t = 0 đến thời điểm mà vật dừng lại.
Hướng dẫn giải
a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm thì vận tốc là đạo hàm của hàm số biểu thị quãng đường đi của một chất điểm chuyển động theo thời gian t.
v(t) = S'(t) ⇒ S(t) = .png)
S(t) = .png)
= t + cos2t + C
Quãng đường của vật di chuyển trong khoảng thời gian từ .png)
= 0 đến .png)
là
.png)
b) v(t) = 0 ⇔ 160 - 10t = 0 ⇔ t = 16. Quãng đường mà vật đã đi:
.png)
15. Một vật đang chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc .png)
Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
Hướng dẫn giải
Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, ta có :
vận tốc .png)
quãng đường : .png)
Quãng đường vật đi được sau 10 giây kể từ khi tăng tốc là :
.png)
trong đó .png)
chính là vận tốc của vật tại thời điểm t = 0, tức là tại lúc vật bắt đầu có gia tốc. Vậy .png)
= 10m.
Vậy .png)
16. Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là 25m/s. Gia tốc trọng trường là .png)
a) Sau bao lâu viên đạn đạt tới độ cao lớn nhất ?
b) Tính quãng đường viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho đến khi rơi xuống đất (chính xác đến hàng phần trăm).
Hướng dẫn giải
Gọi thời điểm bắn viên đạn là t = 0. Gia tốc của viên đạn là a(t) = -9,8.
Vận tốc của viên đạn theo thời gian t là :
v(t) = .png)
= -9,8t + C
Tại thời điểm t = 0, v(0) = 25m/s. Do đó C = v(0) = 25
v(t) = -9,8t + 25.
a) Viên đạn đạt độ cao lớn nhất tại thời điểm t khi vận tốc bằng 0.
v(t) = -9,8t + 25 = 0 ⇔ .png)
b) Quãng đường viên đạn đi được từ lúc bắn lên đến khi rơi xuống đất là :
.png)