CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
16. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số .png)
Hướng dẫn giải
.png)
Từ đó suy ra : Giá trị nhỏ nhất của f(x) là : minf(x) = .png)
Giá trị lớn nhất của f(x) là : maxf(x) = 1.
17. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau :
a) f(x) = .png)
+ 2x - 5 trên đoạn [-2; 3].
b) .png)
trên đoạn [-4; 0].
c) .png)
trên khoảng .png)
d) f(x) = .png)
+ 2x + 4 trên đoạn [2; 4].
e) .png)
trên đoạn [0; 1].
f) .png)
trên nửa khoảng (0; 2].
Hướng dẫn giải
a) f'(x) = 2x + 2 = 0 ⇔ x= -1.
Hàm số f(x) liên tục trên [-2; 3]. Ta có : f(-2) = -5, f(-1) = -6, f(3) = 10.
⇒ .png)
= min {-5; -6; 10} = -6
.png)
= max {-5; -6; 10} = 10.
b) .png)
⇔ x = -3, x= -1.
Hàm số f(x) liên tục trên [-4; 0]. Ta có :
.png)
c) Hàm số f(x) liên tục trên .png)
Do đó hàm số .png)
không có giá trị lớn nhất trên .png)
.png)
Bảng biến thiên của f(x) trên
.png)
Từ bảng biến thiên suy ra .png)
d) f'(x) = -2x + 2 < 0, .png)
[2; 4].
Hàm số .png)
nghịch biến trên [2; 4].
Suy ra : .png)
e) f(x) liên tục trên [0; 1],
.png)
⇔ x=-3, x=-1
.png)
Suy ra:
.png)
f) f(x) liên tục trên (0; 2], .png)
Hàm số đồng biến trên (0; 2], .png)
Suy ra trên (0; 2] hàm số f(x) không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của f(x) là .png)
18. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau :
.png)
Hướng dẫn giải
a) Tập xác định D = R. Khi x .png)
R thì sinx .png)
[-1; 1]. Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số .png)
trở thành bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
.png)
trên [-1; 1]. Ta có :
f'(t) = 4t + 2 = 0 ⇔ .png)
f(-1) = -1, f(1) = 3, .png)
Suy ra: .png)
b)
.png)
Làm như câu a), tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
.png)
19. Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên cạnh BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác. Xác định vị trí của điểm M sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó.
Hướng dẫn giải
Đặt BM = x, ta có : MN = BC – 2BM = a - 2x
.png)
Diện tích hình chữ nhật MNPQ là :
S(x) = MN.QM = .png)
.png)
Vậy diện tích hình chữ nhật lớn nhất là .png)
.png)
20. Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng : Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng
P(n) = 480 - 20n (gam).
Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều nhất ?
Hướng dẫn giải
Năng suất nuôi cá sau một vụ thu hoạch bằng số cá trên mỗi đơn vị diện tích hồ nhân với trọng lượng của mỗi con cá. Kí hiệu năng suất là f(n) ta có : f(n) = nP(n) = n(480 – 20n) với .png)
f'(n) = 480 - 40n = 0 ⇔ n = 12
Vậy, để thu được nhiều nhất sau một vụ thu hoạch cần thả mỗi đơn vị diện tích mặt hồ là 12 con cá.
21. Tìm cực trị của các hàm số sau :
.png)
Hướng dẫn giải
a).png)
b) Tập xác định D = R\{-1}.
.png)
Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi x qua .png)
. Hàm số đạt cực tiểu tại x = .png)
với .png)
c) Tập xác định .png)
.png)
d) Tập xác định D = R\(-1; 1).
.png)
Hàm số không có cực trị.
22. Tìm các giá trị của m để hàm số .png)
đạt cực đại và cực tiểu.
Hướng dẫn giải
Tập xác định D = R\{1}.
.png)
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì tam thức bậc hai trong biểu thức của đạo hàm phải có hai nghiệm phân biệt khác với 1. Điều này xảy ra khi m > 0.
23. Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức
.png)
trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (x được tính bằng miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất và tính độ giảm đó.
Hướng dẫn giải
.png)
G"(x) = -1,5x + 1,5; G"(0) = 1,5 > 0; G"(20) = -28,5 < 0.
Hàm số G(x) đạt cực đại tại x = 20. Vậy lượng thuốc cần tiêm để giảm huyết áp nhiều nhất là 20mg. Độ giảm huyết áp là G(20) = 100.
24. Cho parabol .png)
và điểm A(-3; 0). Xác định điểm M thuộc parabol .png)
sao cho khoảng cách AM là ngắn nhất và tìm khoảng cách ngắn nhất đó.
Hướng dẫn giải
Khoảng cách AM là:
Hàm số d(x) có tập xác định là D = R.
.png)
⇔ x = -1.
d'(x) chuyển dấu từ âm sang dương khi x đi qua x = -1. Hàm số d(x) đạt cực tiểu tại x = -1. Điểm M(-1; 1) .png)
là điểm để khoảng cách AM ngắn nhất, với AM = .png)
.
.png)
25. Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách 300km. Vận tốc dòng nước là 6km/h. Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là y (km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức:.png)
, trong đó c là một hằng số, E được tính bằng jun. Tìm vận tốc bơi của cá khi dòng nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất.
Hướng dẫn giải
Vận tốc cá khi dòng nước đứng yên là v (km/h) thì vận tốc cá khi ngược dòng nước, với vận tốc dòng nước 6 km/h, là (v - 6) km/s.
Thời gian của cá bơi ngược dòng với khoảng cách 300km là .png)
Năng lượng tiêu hao của cá khi bơi qua quãng đường 300km là :
.png)
Xét sự biến thiên của hàm số E(v). Ta có :
.png)
Lập bảng biến thiên của E(v):
.png)
Từ bảng biến thiên trên ta thấy năng lượng tiêu hao ít nhất nếu cá bơi với vận tốc 9 km/h.
26. Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là : .png)
, t = 0, 1, 2, ..., 25.
Nếu coi f(t) là hàm số xác định trên đoạn [0; 25] thì f'(t) được xem là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t.
a) Tính tốc độ truyền bệnh vào ngày thứ 5.
b) Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất và tính tốc độ đó.
c) Xác định các ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn hơn 600.
d) Xét chiều biến thiên của hàm số f trên đoạn [0; 25].
Hướng dẫn giải
a) f'(t) = 90t - 3.png)
. Tốc độ truyền bệnh vào ngày thứ 5 là :
f'(5) = 90 x 5 – 3..png)
= 375 người/ngày.
b) f"(t) = 90 - 6t = 0 ⇔ t= .png)
= 15.
f'(t) đạt cực đại tại t = 15. Ngày có tốc độ truyền bệnh lớn nhất là f'(t) = 675 người.
c) f'(t) = 90t - 3 > 600 ⇔ 3- 90t + 600 <0 ⇔ 10 < t < 20
tức là các ngày có tốc độ truyền bệnh lớn hơn 600 là từ ngày thứ 11 đến ngày thứ 19.
d)
.png)
Hàm số đồng biến trên đoạn [0; 25].
27. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau :
.png)
Hướng dẫn giải
a) Tập xác định .png)
Hàm số nghịch biến trên tập xác định, suy ra
.png)
b) Tập xác định D = [-2; 2], .png)
f(-2) = -2; f(2) = 2; .png)
= 0; .png)
.png)
c) .png)
Đặt .png)
ta có t .png)
[0; 1] .png)
Xét hàm g(t) = .png)
– t + 3 trên [0; 1]
g'(t) = 2t - 1 = 0 ⇔ .png)
.png)
d) f'(x) = 1 – 2cos2x, trên .png)
f'(x) = 0 với .png)
.png)
28. Trong các hình chữ nhật có chu vi là 40cm, hãy xác định hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Hướng dẫn giải
Gọi một cạnh hình chữ nhật có chiều dài x cm. Tổng chiều dài hai cạnh là 20cm. Chiều dài cạnh kia là (20 - x) cm. Diện tích hình chữ nhật là:
S(x) = x(20 – x) .png)
với .png)
S'(x) = 20 - 2x = 0 ⇔ x = 10
Diện tích hình chữ nhật lớn nhất khi x = 10. Như vậy trong các hình chữ nhật chu vi 40cm, hình vuông cạnh 10cm có diện tích lớn nhất bằng 100.