§3. Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng

TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1. Dạng lượng giác của số phức

Số phức dạng: z = r(cos $\varphi$ + isin$\varphi$), trong đó r > 0 là số thực, $\varphi$ là góc lượng giác có số đo bằng rađian được gọi là dạng lượng giác của số phức. Số r là mođun của z, $\varphi$ là một acgumen của z, còn số phức z = a + bi, a, b $\epsilon$ R được gọi là dạng đại số của số phức.

2. Cách đưa số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác

Đưa số phức z = a + bi về dạng lượng giác z = r(cos $\varphi$ + isin$\varphi$) thì , $\varphi$ là một acgumen của z thì $\varphi$ là số thực sao cho cos$\varphi$ = $\frac{a}{r}$, sin$\varphi$ = $\frac{b}{r}$. Số $\varphi$ chính là số đo của góc lượng giác mà tia đầu là Ox, tia cuối là OM, trong đó M(a; b) là điểm biểu diễn số phức z = a + bi trên mặt phẳng phức.

3. Nhân và chia số phức dạng lượng giác

4. Công thức Moavrơ

Ứng dụng vào lượng giác: Để tìm công thức biểu diễn cosn$\varphi$, sinn$\varphi$ qua các lũy thừa của cos$\varphi$ và sin$\varphi$ ta sử dụng khai triển Niutơn cho $(cos\varphi + isin\varphi)^{n }$ rồi đồng nhất phần thực với phần thực, phần ảo với phần ảo.

5. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác

Số phức r(cos$\varphi$ + isin$\varphi$) có hai căn bậc hai là

$\sqrt{r}$(cos$\frac{\varphi }{2}$ + isin$\frac{\varphi }{2}$) và $\sqrt{r}$[cos( $\varphi$ + $\pi$) + isin( $\varphi$ + $\pi$)].