CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

40.a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số :

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn.

c) Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị.

Hướng dẫn giải

a) • Tập xác định D = R.

• Bảng biến thiên : ⇔ x = 0 hoặc x = -2.

Hàm số đồng biến trong các khoảng nghịch biến trên khoảng (-2; 0). Hàm số đạt cực đại tại điểm x = -2. Giá trị cực đại Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0. Giá trị cực tiểu = -4. Đồ thị của hàm số (hình dưới).

y" = 6x + 6 = 0 ⇔ x= -1.

Điểm uốn của đồ thị I(-1; -2).

Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn I:

y = f'(-1)[x + 1] - 2 ⇔ y = -3x - 5

Phương trình của đường cong đồ thị của hàm số trong hệ tọa độ IXY là :

Hàm số là hàm số lẻ. Chứng tỏ gốc tọa độ I(-1; -2) là tâm đối xứng của .

41.a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

b) Tùy theo các giá trị của m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình :

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định D = R.

y' = + 6x = 0 ⇔ x = 0; x = 2

Bảng biến thiên :

Hàm số nghịch biến trong các khoảng và , đồng biến trong khoảng (0; 2).

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.

Giá trị cực tiểu = -1.

Hàm số đạt cực đại tại x = 2.

Giá trị cực đại = 3.

Đồ thị (hình dưới).

Điểm uốn: I(1; 1).

b) Số nghiệm của phương trình : bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng y = m (song song với trục hoành). Từ bảng biến thiên và đồ thị thấy :

• Nếu m < -1, đường thẳng y = m cắt tại 1 điểm. Phương trình (1) có 1 nghiệm.

• Nếu m = -1, đường thẳng y = m và có hai điểm chung. Phương trình (1) có 2 nghiệm (một nghiệm đơn, một nghiệm kép).

• Nếu -1 < m < 3, đường thẳng y = m cắt tại 3 điểm. Phương trình (1) có 3 nghiệm.

• Nếu m = 3, đường thẳng y = m và có 2 điểm chung. Phương trình (1) có 2 nghiệm (một nghiệm đơn, một nghiệm kép).

• Nếu m > 3, phương trình (1) có 1 nghiệm.

Tóm lại :

- Nếu m < -1 hoặc m > 3 thì (1) có 1 nghiệm duy nhất.

- Nếu m = -1 hoặc m = 3 thì (1) có 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép.

- Nếu -1 < m < 3 thì (1) có 3 nghiệm phân biệt.

42. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

Hướng dẫn giải

a) TXÐ: D=R,

⇔ x = -1 hoặc x = 3.

Bảng biến thiên :

Hàm số đồng biến trong các khoảng và nghịch biến trong khoảng (-1; 3).

Điểm cực đại M(-1; 0), điểm cực tiểu

y" = 2x - 2 = 0 ⇔ x = 1.

Điểm uốn

Đồ thị (hình dưới).

b) Đồng biến trong các khoảng nghịch biến trong khoảng (-1; 1).

Điểm cực đại M(-1; 3), điểm cực tiểu N(1; -1).

Điểm uốn I(0;1). Bạn đọc tự vẽ đồ thị.

c) Hàm số luôn nghịch biến trên R.

Điểm uốn I(1; -2).

Bạn đọc tự vẽ đồ thị.

d) Hàm số luôn đồng biến trên R.

Điểm uốn I(1; 2).

Bạn đọc tự vẽ đồ thị.

43.a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số :

b) Tùy theo các giá trị của m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình :

c) Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm uốn của đồ thị ở câu a.

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định D = R,

⇔ x = 0 hoặc

Bảng biến thiên :

Hàm số đồng biến trong các khoảng (0; 1), nghịch biến trong các khoảng (-1; 0) và

Đạt cực đại tại các điểm x = -1 và x = 1.

Giá trị cực đại = -1.

Đạt giá trị cực tiểu tại x = 0.

Giá trị cực tiểu = -2.

• Điểm uốn :

Đồ thị (hình dưới).

Các điểm uốn:

b) Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị của hàm số

• Nếu m < -2 phương trình có 2 nghiệm.

• Nếu m = -2 phương trình có 3 nghiệm (2 nghiệm đơn, 1 nghiệm kép).

• Nếu –2 < m < -1 phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

• Nếu m = -1 phương trình có 2 nghiệm (kép).

• Nếu m > -1 phương trình vô nghiệm.

c) Phương trình tiếp tuyến tại các điểm uốn :

44. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau :

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định D = R,

Bảng biến thiên :

Điểm uốn :

Đồ thị (hình dưới).

b) Tập xác định D = R,

⇔ x = 0

Bảng biến thiên :

Đồ thị không có điểm uốn.

Đồ thị (hình dưới).

45.a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

b) Tùy theo các giá trị của m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình

Hướng dẫn giải

a) ⇔ x = 0; x = 2.

Bảng biến thiên :

Đồ thị (hình dưới).

y" = 6x - 6 = 0 ⇔ x = 1

Điểm uốn I(1; -1).

b)

• Nếu -m-1 < -3 ⇔ m > 2 hoặc - m - 1 > 1 ⇔ m < -2 : phương trình đã cho có 1 nghiệm.

• Nếu -m - 1 = -3 ⇔ m = 2 hoặc - m - 1 = 1 ⇔ m = -2 : phương trình có 2 nghiệm (một nghiệm đơn, một nghiệm kép).

• Nếu -3 < - m -1 <1 ⇔ -2 < m < 2: phương trình có 3 nghiệm.

46. Cho hàm số:

a) Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

b) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với m = -1.

Hướng dẫn giải

a) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt tương đương với phương trình có 3 nghiệm phân biệt, tương đương với phương trình có 2 nghiệm phân biệt khác với -1.

Điều này xảy ra khi và chỉ khi

⇔ m < -1 hoặc m > 3 hoặc 2 < m < 3.

b) Với m = -1,

Bảng biến thiên :

Điểm uốn

Đồ thị (hình dưới):

47. Cho hàm số:

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2.

b) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của m.

Hướng dẫn giải

a) Với m = 2,

⇔ x = 0 hoặc x =

Đồ thị xem bài 44a).

b) Ta có :

Điểm M(x; y) mà mọi đồ thị hàm số đi qua có nghĩa là hệ thức (*) xảy ra với mọi m. Điều này có được khi và chỉ khi (x; y) là nghiệm của hệ phương trình:

Các điểm A(-1; 0) và B(1; 0) là các điểm cố định mà mọi đồ thị đi qua khi m thay đổi.

48. Cho hàm số:

a) Tìm các giá trị của m sao cho hàm số có ba cực trị.

b) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với m = . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm uốn.

Hướng dẫn giải

a) Hàm số xác định, liên tục trên toàn trục số, có đạo hàm tại mọi x R. Vì vậy để hàm số có ba cực trị thì đạo hàm của nó phải triệt tiêu tại ba giá trị phân biệt và đổi dấu khi qua các giá trị đó.

Ta có :

Để y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình phải có hai nghiệm phân biệt khác 0. Điều này xảy ra khi và chỉ khi m > 0.

b)

Bảng biến thiên :

Từ bảng biến thiên cho ta biết các khoảng tăng, giảm của hàm số, các điểm cực trị của hàm số. Bạn dựa vào bảng biến thiên để vẽ đồ thị.

Điểm uốn :

Phương trình tiếp tuyến tại các điểm uốn là :