CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV
37. Tìm phần thực, phần ảo của :
a) $(2-3i)^{3}$
b) $\frac{3+2i}{1-i}$ + $\frac{1-i}{3-2i}$
c) $(x+iy)^{2}$ - 2(x + iy) + 5 (x, y $\in$ R).
Với x, y nào thì số phức đó là số thực?
Hướng dẫn giải
a) .png)
Phần thực :-46, phần ảo :-9.
.png)
Số trên là số thực nếu 2xy - 2y = 0, tương đương x = 1 hoặc y = 0.
38. Chứng minh rằng nếu |z| = |$\omega$| = 1 thì số $\frac{z+\omega }{1+z\omega }$ là số thực (giả sử $1+z\omega$ $\neq$ 0).
Hướng dẫn giải
Giả sử z = a + bi, $\omega$ = c + di thỏa mãn $a^{2}$ + $b^{2}$ = $c^{2}$ + $d^{2}$ = 1.
.png)
.png)
Thay điều kiện $a^{2}$ + $b^{2}$ = $c^{2}$ + $d^{2}$ = 1 vào vế phải (*) ta được 0. Do đó :
.png)
là số thực. Đó là điều cần chứng minh.
39. Giải các phương trình sau trên C:
a) $(z+3-i)^{2}$ - 6(z + 3 - i) + 13 = 0
b) .png)
c) $(z^{2}+1)^{2}$ + $(z+3)^{2}$ = 0.
Hướng dẫn giải
.png)
c) Thử với z = -1- i vào vế trái ta được
.png)
Vậy z = -1 - i là một nghiệm.
Thử với z = -1 + i ta được :
.png)
Vậy z = -1 + i cũng là một nghiệm.
.png)
Phương trình $z^{2}$ - 2z + 5 = 0 có các nghiệm là .png)
Vậy phương trình $(z^{2}+1)^{2}$ + $(z+3)^{2}$ = 0 có bốn nghiệm là .png)
40. Xét các số phức : $z_{1} = \sqrt{6}-i\sqrt{2}$; $z_{2}$ = - 2 - 2i; $z_{3}=\frac{z_{1}}{z_{2}}$
a) Viết $z_{1}$, $z_{2}$, $z_{3}$ dưới dạng lượng giác.
b) Từ câu a, hãy tính cos$\frac{7\pi }{12}$ và sin$\frac{7\pi }{12}$
Hướng dẫn giải
.png)
b) Tính theo công thức .png)
ta được
.png)
Từ đó ta có:.png)
Suy ra : .png)
41. Cho z = ($\sqrt{6}+\sqrt{2}$) + i($\sqrt{6}-\sqrt{2}$).
a) Viết $z^{2}$ dưới dạng đại số và dưới dạng lượng giác.
b) Từ câu a, hãy suy ra dạng lượng giác của z.
Hướng dẫn giải
a)
.png)
Ta có thể viết $z^{2}$ dưới dạng lượng giác như sau :
.png)
b) Từ dạng lượng giác của $z^{2}$ suy ra dạng lượng giác của z là :
.png)
42.a) Bằng cách biểu diễn hình học các số phức 2 + i và 3 + i hãy chứng minh rằng nếu tana = $\frac{1}{2}$, tanb = $\frac{1}{3}$ với a, b $\in$ (0; $\frac{\pi }{2}$) thì a + b = $\frac{\pi }{4}$
b) Bằng cách biểu diễn hình học các số phức 2 + i; 5 + i và 8 + i hãy chứng minh rằng nếu tana = $\frac{1}{2}$, tanb = $\frac{1}{5}$ tanc = $\frac{1}{8}$ với a, b, c $\in$ (0; $\frac{\pi }{2}$) thì a + b + c = $\frac{\pi }{4}$
Hướng dẫn giải
a) Trên mặt phẳng phức các số phức $z_{1}$ = 2 + i và $z_{2}$ = 3 + i được biểu diễn bởi các điểm M(2; 1) và N(3; 1).
Gọi a là một acgumen của $z_{1}$ ta có tana = $\frac{1}{2}$ và b là một acgumen của $z_{2}$ ta có tanb = $\frac{1}{3}$ và:
.png)
Mặt khác : $z_{1}$.$z_{2}$ = (2 + i)(3 + i) = 5 + 5i = 5(1 + i)
.png)
So sánh giữa (1) và (2) ta có :
.png)
Với a, b $\in$ (0,$\frac{\pi }{2}$) ta có : a + b = $\frac{\pi }{4}$
b) Làm tương tự câu a:
.png)
Mặt khác :
.png)
Từ (3) và (4) suy ra :
a + b + c = $\frac{\pi }{4}$.