CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

26. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sinx + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 0 và

Hướng dẫn giải

Hàm số y = sinx + 1 liên tục và không âm với mọi x R. Diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sinx + 1 và các đường thẳng x = 0 và là :

27. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :

a) Đồ thị hàm số trục hoành, trục tung và đường thẳng

b) Đồ thị hai hàm số

c) Đồ thị hai hàm số trong miền x > 0.

Hướng dẫn giải

a) Ta có : liên tục trên R. Diện tích cần tính là :

b) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình :

⇔ x = 0, x = 1

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị là :

c) Ta có :

Diện tích của hình giới hạn bởi hai đồ thị trong miền x > 0 là :

28. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi :

a) Đồ thị các hàm số và hai đường thẳng x = -3; x = -2.

b) Đồ thị hai hàm số

c) Đồ thị hàm số trục hoành đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4.

Hướng dẫn giải

a)

b) Ta có :

hoặc x = 1 với thì

Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị là :

c)

29. Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = -1 và x = 1, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x là một hình vuông cạnh là

Hướng dẫn giải

Thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x là :

Thể tích của vật thể là :

30. Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x là một tam giác đều cạnh là

Hướng dẫn giải

Làm tương tự bài 29, ta được thể tích vật thể là :

31. Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = 0, x = 4 và Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.

Hướng dẫn giải

Thể tích cần tính :

32. Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường , y = 1 và y = 4. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung.

Hướng dẫn giải

Thể tích khối tròn xoay là :

33. Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường , x = 0, y = -1 và y = 1. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung.

Hướng dẫn giải

34. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :

a) Đồ thị các hàm số y = x, y = 1 và trong miền

b) Đồ thị hai hàm số trục tung và đường thẳng x = 1.

c) Đồ thị các hàm số , y = 4x - 4 và y = -4x - 4.

Hướng dẫn giải

b)

c) Đường thẳng y = 4x - 4 tiếp xúc với parabol tại điểm A(2; 4). Đường thẳng y = -4x - 4 tiếp xúc với parabol tại B(-2; 4). Do tính chất đối xứng, diện tích hình phẳng cần tính bằng hai lần diện tích giới hạn bởi các đường y = 4x - 4, và x = 0.

Với ta có : ⇔

y = 4x - 4 ⇔

Diện tích cần tính là :

35. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :

a) Đồ thị hai hàm số và y = 3 - x.

b) Các đường có phương trình , y = 1 và x = 8.

c) Đồ thị hai hàm số , y = 6 – x và trục hoành.

Hướng dẫn giải

a) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

Diện tích cần tính :

b) Đường y = 1 cắt đường tại điểm có hoành độ x = 1.

Diện tích cần tính :

c) Phương trình hoành độ giao điểm của và y = 6 – x là :

Diện tích cần tính :

36.

Tính thể tích của vật thể T nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x là một hình vuông cạnh là

Hướng dẫn giải

Diện tích thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x là S(x) = = 4sinx

Thể tích của vật thể là :

37. Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường , y = 0, x = 0 và x = 2. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.

Hướng dẫn giải

Thể tích cần tính bằng:

38. Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = cosx, y = 0, x = 0 và Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trụ hoành.

Hướng dẫn giải

39. Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường , y = 0, x = 0 và x = 1. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.

Hướng dẫn giải

40. Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường , x = 0, y = 0 và . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung.

Hướng dẫn giải