CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
57.a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị .png)
của hàm số .png)
b) Tìm các giao điểm của đường cong và parabol : .png)
c) Viết phương trình các tiếp tuyến của và .png)
tại các giao điểm của chúng.
d) Xác định các khoảng trên đó nằm phía trên hoặc phía dưới .
Hướng dẫn giải
a) .png)
⇔ x = 0 hoặc x = -1.
Bảng biến thiên :
.png)
Điểm uốn : .png)
Bạn đọc tự vẽ đồ thị.
b) Hoành độ giao điểm của và :
.png)
Các giao điểm .png)
và B(0; 1).
c) Phương trình tiếp tuyến với tại A và B lần lượt là
.png)
:
Phương trình tiếp tuyến với tại A và B lần lượt là :
.png)
d) Xét dấu của biểu thức d(x) = f(x) - g(x) = .png)
ta có :
.png)
Trong khoảng .png)
biểu thức d(x) mang dấu âm chứng tỏ trên khoảng đó đồ thị hàm số f(x) nằm phía dưới . Tương tự, trong các khoảng .png)
nằm phía trên .
58.a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .png)
b) Với các giá trị nào của m đường thẳng .png)
đi qua điểm A(-2; 2) và có hệ số góc m cắt đồ thị của hàm số đã cho
• Tại hai điểm phân biệt ?
• Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị ?
Hướng dẫn giải .
a) Tập xác định D = R\{-1}.
Tiệm cận đứng : x= -1. Tiệm cận ngang : y = 2.
.png)
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
Không có cực trị. Bạn đọc tự vẽ đồ thị.
b) Đường thẳng đi qua A(-2; 2) có hệ số góc m có phương trình là :
y = m(x + 2) + 2 ⇔ y = mx + 2(m + 1)
Xét phương trình: .png)
(1)
• cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Từ phương trình (1) ta có : .png)
+ 3mx + 2m + 3 = 0 .png)
(2)
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt nếu và chỉ nếu phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
.png)
• cắt đồ thị tại hai điểm thuộc hai nhánh khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, một nghiệm nhỏ hơn -1 và một nghiệm lớn hơn -1. Điều này xảy ra nếu và chỉ nếu :
m[m.png)
+ 3m(-1) + 2m + 3] <0 ⇔ m < 0.
59. Chứng minh rằng các đồ thị của ba hàm số :
.png)
tiếp xúc với nhau tại điểm A(-1; 2).
Hướng dẫn giải
Ta có : f(-1) = g(-1) = h(-1) = 2.
Điều này chứng tỏ điểm A(-1; 2) thuộc cả ba đồ thị của các hàm số f(x), g(x) và h(x).
Mặt khác, ta có : f'(x) = -2x + 3, .png)
h'(x) = 2x + 7
f'(-1) = g'(-1) = h'(-1) = 5.
Điều này chứng tỏ tại A(-1; 2) các đồ thị của ba hàm số có tiếp tuyến chung. Vậy các đồ thị của ba hàm số tiếp xúc với nhau tại A.
60. Chứng minh rằng các đồ thị của hai hàm số: .png)
tiếp xúc với nhau.
Xác định tiếp điểm của hai đường cong trên và viết phương trình tiếp tuyến chung của chúng tại điểm đó.
Hướng dẫn giải
Xét hệ phương trình một ẩn:
.png)
có nghiệm x = 0.
Điều đó chứng tỏ các đồ thị của hai hàm số tiếp xúc với nhau tại điểm O(0; 0). Phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường cong tại O là .png)
61. Một viên đạn được bắn ra với vận tốc ban đầu Vo > 0 từ một nòng súng đặt ở gốc tọa độ O, nghiêng một góc .png)
với mặt đất (nòng súng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng Oxy và tạo với trục hoành Ox góc .png)
(hình dưới). Biết quỹ đạo chuyển động của viên đạn là parabol
.png)
.png)
(g là gia tốc trọng trường).
Chứng minh rằng với mọi .png)
.png)
luôn tiếp xúc với parabol .png)
có phương trình là .png)
và tìm tọa độ tiếp điểm ( được gọi là parabol an toàn).
Hướng dẫn giải
Xét hệ phương trình
.png)
.png)
Với .png)
.png)
xác định, hữu hạn. Hệ (I) luôn có nghiệm .png)
Điều đó có nghĩa .png)
luôn tiếp xúc với .png)
tại điểm có hoành độ .png)
Tọa độ tiếp điểm là : .png)
62.a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .png)
b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai đường tiệm cận của đường cong đã cho là tâm đối xứng của nó.
Hướng dẫn giải
a) Tập xác định D = R\{-1}.
Tiệm cận đứng : x = 1. Tiệm cận ngang : y = 1.
.png)
Hàm số luôn đồng biến trong .png)
và .png)
không có cực trị. Bạn đọc tự vẽ đồ thị.
b) Giao điểm của hai tiệm cận I(-1; 1). Phương trình của đường cong trong hệ tọa độ IXY:
.png)
Hàm số .png)
là hàm số lẻ chứng tỏ gốc tọa độ I là tâm đối xứng của đồ thị của nó.
63.a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị .png)
của hàm số: .png)
b) Chứng minh rằng đường thẳng y = mx + m – 1 luôn đi qua một điểm cố định của đường cong khi m biến thiên.
c) Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng đã cho cắt đường cong tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của .
Hướng dẫn giải
a) Tập xác định D = R\ .png)
Tiệm cận đứng : .png)
. Tiệm cận ngang : .png)
.
.png)
. Hàm số nghịch biến trên D, không có cực trị. Bạn đọc tự vẽ đồ thị.
b) Ta có : y = mx + m - 1 ⇔ (x + 1)m - 1- y = 0 (*)
Hệ thức (*) đúng với mọi m khi và chỉ khi : .png)
Đường thẳng y = mx + m - 1 luôn đi qua điểm cố định A(-1; 1) thuộc (vì tọa độ A thỏa mãn phương trình .png)
).
c) Hoành độ giao điểm của đường thẳng y = mx + m - 1 và là nghiệm của phương trình:
.png)
Đường thẳng cắt tại hai điểm thuộc cùng một nhánh nếu và chỉ nếu
.png)
.png)
64. Cho hàm số: .png)
a) Tìm a và b biết rằng đồ thị .png)
của hàm số đã cho đi qua điểm .png)
và tiếp tuyến của tại điểm O(0; 0) có hệ số góc bằng -3.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với các giá trị của a và b đã tìm được.
Hướng dẫn giải
a) Ta có :
.png)
b) Bạn đọc tự giải.
65.a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: .png)
b) Với các giá trị nào của m đường thẳng y = m - x cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt ?
c) Gọi A và B là hai giao điểm đó. Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m biến thiên.
Hướng dẫn giải
a) Tập xác định D = R\{1}. Tiệm cận đứng : x = 1.
.png)
⇒ Tiệm cận xiên : y = 2x + 1
.png)
⇔ x = 0 hoặc x = 2
Các điểm cực trị A(0; -1), B(2; 7). Bạn đọc tự vẽ đồ thị.
b) .png)
có hai nghiệm phân biệt nếu và chỉ nếu : phương trình .png)
có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
.png)
c) Theo định lí Viet, tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là :
.png)
Khử m giữa các biểu thức của .png)
ta được phương trình quỹ tích trung điểm I của AB là : y = 5x - 2 loại trừ các điểm (x; y) với :
.png)
(Vì với .png)
đường thẳng y = m - x không cắt đồ thị hàm số).
66. Tìm các hệ số a và b sao cho parabol y = .png)
+ ax + b tiếp xúc với hypebol .png)
tại điểm .png)
Hướng dẫn giải
Parabol y = + ax + b .png)
tiếp xúc với hyperbol .png)
tại .png)
nếu:
.png)
67. Một tạp chí được bán với giá 20 nghìn đồng một cuốn. Chi phí cho xuất bản (bao gồm : lương cán bộ, công nhân viên, giấy in, ...) được cho bởi
C(x) = 0,0001.png)
- 0,2x + 10000,
C(x) được tính theo đơn vị là vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 4 nghìn đồng.
1. a) Tính tổng chi phí T(x) (xuất bản và phát hành) cho x cuốn tạp chí.
b) Tỉ số .png)
được gọi là chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí khi xuất bản x cuốn. Tính M(x) theo x và tìm số lượng tạp chí cần xuất bản sao cho chi phí trung bình là thấp nhất.
2. Các khoản thu bao gồm tiền bán tạp chí và 90 triệu đồng nhận được từ tiền quảng cáo và sự trợ giúp cho báo chí. Giả sử số cuốn in ra đều được bán hết.
a) Chứng minh rằng số tiền lãi khi in x cuốn tạp chí là
L(x) = -0,0001 + 1,8x - 1000.
b) Hỏi in bao nhiêu cuốn thì có lãi ?
c) In bao nhiêu cuốn thì lại nhiều nhất ? Tính số tiền lãi đó.
Hướng dẫn giải
1.a) T(x) = C(x) + 0,4x = 0,0001 + 0,2x + 10000 với x > 0.
b) M(x) = .png)
= 0, 0001x + 0,2+ .png)
với x > 0,
.png)
M(x) đạt cực tiểu (tức chi phí thấp nhất) với x = 10000 (cuốn).
2.a) Các khoản thu là N(x) = 9000 + 2x. Số tiền lời bằng
L(x) = N(x) – T(x) = (9000 + 2x) – (0,0001 + 0,2x + 10000)
= -0,0001 + 1,8x - 1000
L(x) = 0 ⇔ .png)
b) Lượng sách cần in để có lãi nếu và chỉ nếu
L(x) > 0 ⇔ 10000(0,9 - .png)
) < x < 10000(0,9 + .png)
)
Vậy để có lãi thì số cuốn tạp chí cần in trong khoảng từ 574 đến 17426 cuốn.
c) L'(x) = -0,0002x + 1,8 = 0 ⇔ x = 9000
L(x) đạt cực đại tại x = 9000.
L(9000) = 7100 vạn đồng = 71 triệu đồng, là số tiền lời nhiều nhất.