CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
49.a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số: .png)
b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị.
Hướng dẫn giải
a) Tập xác định .png)
.png)
⇒ Đường tiệm cận đứng : .png)
.png)
⇒ Đường tiệm cận ngang : .png)
Không có đường tiệm cận xiên.
Đạo hàm : .png)
Bảng biến thiên :
.png)
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định .png)
không có cực trị.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; -2), cắt trục hoành tại điểm (2; 0).
Một vài điểm khác của đồ thị.
.png)
Đồ thị (hình dưới).
.png)
b) Giao điểm của hai tiệm cận là .png)
.
Phương trình của đường cong .png)
trong hệ tọa độ IXY là :
.png)
Hàm số .png)
là một hàm số lẻ. Ta biết đồ thị của hàm số lẻ có tâm đối xứng là gốc tọa độ. Điều đó chứng tỏ giao điểm .png)
của hai đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số .png)
50. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau :
.png)
Hướng dẫn giải
a) Làm tương tự câu a) bài tập 49. Tập xác định :D = R\{1}.
.png)
⇒ Đường tiệm cận đứng : x = 1
.png)
⇒ Đường tiệm cận ngang : y = 1.
Bảng biến thiên : .png)
.png)
Giao điểm của đô thị với trục tung: (0; -1), với trục hoành: (-1; 0).
Một vài điểm khác của đồ thị:
.png)
Đồ thị (hình dưới).
.png)
b) Tiệm cận đứng : .png)
. Tiệm cận ngang : .png)
.png)
Bảng biến thiên :
.png)
Bạn đọc tự vẽ đồ thị.
51.a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số: .png)
b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị.
c) Tùy theo các giá trị của m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình
.png)
Hướng dẫn giải
a) Tập xác định D = R \ {2}.
.png)
⇒ tiệm cận đứng: x = -2
.png)
không có tiệm cận ngang.
.png)
⇒ tiệm cận xiên y = 2x + 1
.png)
⇔ x = -3 hoặc x = -1
.png)
Giao điểm của đồ thị và trục tung: (0; 2).
Một vài điểm của đồ thị :
.png)
Đồ thị (hình dưới).
.png)
b) Giao điểm của hai tiệm cận I(-2; -3).
Phương trình của đường cong trong hệ tọa độ IXY :
.png)
Hàm số .png)
là một hàm số lẻ có đồ thị nhận gốc I làm tâm đối xứng.
Suy ra I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số .png)
c) Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số .png)
và đường y = -m.
• Nếu - m < -7 hoặc - m >1 ⇔ m < -1 hoặc m > 7: phương trình có hai nghiệm.
• Nếu - m = -7 hoặc - m = 1 ⇔ m = -1 hoặc m = 7: phương trình có một nghiệm (kép).
• Nếu -7 < -m < 1 ⇔ -1 < m < 7: phương trình vô nghiệm.
52. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau :
.png)
Hướng dẫn giải
a) Tập xác định D = R\{1}.
Tiệm cận đứng : x = 1. Tiệm cận xiên y = x - 2.
.png)
⇔ x = -1 hoặc x = 3.
.png)
Bạn đọc tự vẽ đồ thị.
b) Tập xác định : D = R\{1}.
Tiệm cận đứng : x = 1. Tiệm cận xiên y = -2x - 1
.png)
⇔ x = 0 hoặc x = 2
Bảng biến thiên :
.png)
Bạn đọc tự vẽ đồ thị.
c) Tập xác định D = R\{-2}.
Tiệm cận đứng : x = -2. Tiệm cận xiên : y = 2x + 1.
.png)
Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định .png)
Không có cực trị. Bạn đọc tự vẽ đồ thị.
d) Tập xác định D = R\{1}.
Tiệm cận đứng : x = 1. Tiệm cận xiên : y = -x + 2.
.png)
Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định .png)
Không có cực trị. Bạn đọc tự vẽ đồ thị.
53.a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .png)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại giao điểm A của đồ thị với trục tung.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho, biết rằng tiếp tuyến đó song song với tiếp tuyến tại điểm A.
Hướng dẫn giải
a) Tập xác định D = R\{2}.
.png)
⇒ tiệm cận đứng : x = 2.
.png)
⇒ tiệm cận ngang y = 1.
.png)
Bảng biến thiên:
.png)
Đồ thị cắt trục tung tại điểm .png)
cắt trục hoành tại điểm (-1; 0).
Một số điểm khác của đồ thị:
.png)
Đồ thị (hình dưới).
.png)
b) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại giao điểm A của đồ thị với trục tung:
y = y'(0)[x - 0] + y(0) ⇔ .png)
c) Tiếp tuyến với đồ thị song song với tiếp tuyến với đồ thị tại .png)
có hệ số góc là .png)
. Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến có hệ số góc .png)
là nghiệm của phương trình:
.png)
⇔ x = 0, x = 4
Các tiếp điểm đó chính là .png)
Như vậy phương trình tiếp tuyến song song với tiếp tuyến tại A là :
y = .png)
54.a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị .png)
của hàm số .png)
b) Từ đồ thị suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số .png)
Hướng dẫn giải
a) Bạn đọc tự giải.
b) Ta có: .png)
Từ biểu thức (*) ta nhận thấy rằng với mỗi giá trị của x, hàm số y = .png)
nhận giá trị đối của y = .png)
.
Từ đó suy ra đồ thị của hàm số .png)
là ảnh đối xứng của đồ thị qua trục hoành.
Trong hình dưới đồ thị là đường cong liền nét, còn đồ thị hàm số .png)
là đường cong nét đứt.
.png)
55.a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .png)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho, biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm (3; 3).
Hướng dẫn giải
a) Tập xác định D = R\{1}.
.png)
⇒ tiệm cận đứng x = 1.
.png)
⇒ không có tiệm cận ngang.
.png)
⇒ tiệm cận xiên y = x.
Đạo hàm .png)
Bảng biến thiên:
.png)
Bạn đọc tự vẽ đồ thị.
b) Đường thẳng đi qua điểm (3; 3) có dạng y = k(x - 3) + 3 (d), trong đó k là một số thực. Để (d) là tiếp tuyến của đồ thị thì k phải thỏa mãn các điều kiện:
.png)
Vậy tiếp tuyến với đồ thị hàm số đi qua điểm (3; 3) là :
y = 3(x - 3) + 3 ⇔ y = 3x - 6.
56.a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị .png)
của hàm số .png)
b) Từ đồ thị suy ra cách vẽ đồ thị hàm số .png)
Hướng dẫn giải
a) Tập xác định D = R\{-1}
.png)
⇒ Tiệm cận đứng x = -1, tiệm cận xiên y = x-1
.png)
⇔ x = 0 hoặc x = -2.
Bảng biến thiên :
.png)
Bạn đọc tự vẽ đồ thị.
b) Ta có :
.png)
Từ đó suy ra đồ thị hàm số .png)
có nhánh bên phải đường x = -1 trùng với nhánh bên phải x = -1 của , còn nhánh bên trái đường x = -1 là ảnh đối xứng của nhánh bên trái đường x = -1 của đồ thị qua trục hoành.
Trên hình đồ thị của .png)
là hai nhánh đường cong liền nét.
.png)