Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

§1: Quan hệ giữa tính đơn điệu và đạo hàm của hàm số

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Khái niệm hàm số đơn điệu

Hàm số f(x) xác định trên K (khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng) được gọi là:

đồng biến trên K, nếu với mọi x1, x2 K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2),

và nghịch biến trên K, nếu với mọi x1, x2 K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).

Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

a) Nếu f(x) đồng biến trên K thì f'(x) K.

b) Nếu f(x) nghịch biến trên K thì f'(x)

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Định lí I (Định lí La-gơ-răng) :

Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên (a; b) thì tồn tại ít nhất một điểm c (a; b) sao cho

f(b) - f(a) = f'(c)(b - a).

Ý nghĩa hình học :

Nếu hàm số f(x) thỏa mãn các giả thiết của định lí thì trên đồ thị của hàm số đó tồn tại điểm C, tại đó tiếp tuyến với đồ thị song song với dây cung AB.

Định lí II (điều kiện để hàm số đơn điệu):

Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

a) Nếu f'(x) > 0, thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng K.

b) Nếu f'(x) < 0, thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng K.

c) Nếu f'(x) = 0, thì hàm số f(x) không đổi trên K.

4. Xét chiều biến thiên của hàm số

Là việc tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số trên tập xác định của nó. Nếu hàm số có đạo hàm thì việc xét chiều biến thiên của hàm số đưa về xét dấu của đạo hàm trên tập xác định.