C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 1.11. Cho tứ giác ABCE. Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng tâm E.

Lời giải

Ta có:

\[\Leftrightarrow \overrightarrow{EA'}=\overrightarrow{AE}\]

\[\Leftrightarrow \overrightarrow{EB'}=\overrightarrow{BE}\]

\[\Leftrightarrow \overrightarrow{EC'}=\overrightarrow{CE}\]

Vậy

Giải thích

Từ đẳng thức\[\overrightarrow{EA'}=\overrightarrow{AE}\], ta xác định được điểm A' sao cho E là trung điểm của AA’.

Tương tự, các đẳng thức còn lại cho ta xác định được các điểm B’ và C’.

Bài 1.12. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm I(1;2), M(-2;3), đường thẳng d có phương trình d: 3x-y + 9 = 0 và đường tròn (C):

Hãy xác định tọa độ của điềm M’, phương trình đường thẳng d’ và đường tròn (C’) theo thứ tự là ảnh của M, d, (C) qua

a) Phép đối xứng qua gốc tọa độ

b) Phép đối xứng qua tâm I.

Lời giải

Ta có:

Vậy M’(2;-3)

• Lấy \[A(-3;0)\in d\]

Gọi thì A’(3;0).

Ta có

d’//d\[\Leftrightarrow \] d’: 3x-y+C=0

d’ qua A’ \[\Leftrightarrow \]3.3-0+C=0

\[\Leftrightarrow \]C=-9.

Vậy d’: 3x-y-9=0

• Đường tròn (C) có:

Gọi J’(x’;y’)= thì J’(1;-3)

Vậy (C’):

Giải thích

Nhắc lại

• Hai điểm (khác gốc tọa độ) đối xứng nhau qua gốc tọa độ có hoành độ và tung độ đối nhau.

• Ảnh của đường thẳng qua phép đối xứng tâm là một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho.

• Ảnh của đường tròn qua phép đối xứng tâm là một đường tròn có cùng bán kính với đường tròn đã cho.

b) Ta có:

• Lấy \[A(-3;0)\in d\]

Gọi A’(x’;y’)= thì A’(5;4)

d’//d\[\Leftrightarrow \] d’: 3x-y+C=0

d’ qua A’ \[\Leftrightarrow \]3.5-4+C=0

\[\Leftrightarrow \]C=-11.

Vậy d’: 3x-y-11=0

• Đường tròn (C) có

Gọi J’(x’;y’)= thì J’(3;1)

Vậy (C’):

Để tính tọa độ của A', J’, ta dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm I.

Bài 1.13. Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng d: x-2y+2=0 và d': x-2y-8=0. Tìm phép đối xứng tâm I biến d thành d’ và biến trục Ox thành chính nó.

Lời giải

Gọi I là tâm đối xứng cần tìm.

Vì phép đối xứng tâm I biến trục Ox thành chính nó nên:

\[I\in Ox\] (1)

Mặt khác

(1) và (2) \[\Rightarrow \] I là trung điểm của AB. Vậy I(3;0)

Giải thích

Cần nhớ:

Trung điểm của AB

Bài 1.14. Cho ba điểm không thẳng hàng I, J, Q. Hãy dựng tam giác ABC nhận I, J, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC, AB.

Lời giải

Giả sử đã dựng được tam giác ABC nhận I,J,Q,lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB.

Ta có:

Cách dựng:

• Cách dựng đỉnh A (H.1.44a)

Dựng điểm D tùy ý,

Gọi

Khi đó:

\[\Rightarrow \]A là trung điểm của DD’’’ (dựng được)

• Cách dựng đỉnh B (H.1.44b)

Dựng điểm E tùy ý.

Khi đó:

\[\Rightarrow \]B là trung điểm của EE’’’ (dựng được)

Giải thích

Tứ giác ADCD' có J là trung điểm của hai đường chéo AC và DD’ nên nó là hình bình hành.

Do đó: \[\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{D'C}\]

Tương tự, ta có:

\[\overrightarrow{D'C}=\overrightarrow{BD''}\] và \[\overrightarrow{BD''}=\overrightarrow{D'''A}\]

• Cách đựng đỉnh C(H1.44c)

Độc giả làm tương tự.

Chứng minh:

Ta chứng minh O là trung điểm của AB. Các trường hợp còn lại chứng minh tương tự.

Thật vậy, theo cách dựng, ta có:

\[\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{E'A}\]

nên tứ giác AEBE' là hình bình hành do đó Q là trung điểm của AB.