Vấn đề 2. Dùng phép đối xứng tâm để tìm tập hợp điểm

1. Phương pháp

a. Để tìm tập hợp điểm M’, ta làm như sau:

• Xác định phép đối xứng trục biến M thành M'.

• Tìm tập hợp của M.

• Suy ra tập hợp của M’.

2. Ví dụ

Ví dụ. Cho trên đường tròn (C) tâm O hai điểm cố định B, C và một điểm A thay đổi. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và H’ là điểm sao cho tứ giác BHCH’ là hình bình hành. Chứng minh rằng khi A thay đổi thì H’ luôn nằm trên đường tròn (C). Tìm tập hợp của H.

Lời giải

• Chứng minh H'\[\in \] (C)

Tứ giác AB'HC' có:

\[\widehat{AC'H}+\widehat{AB'H}={{90}^{0}}\]

nên \[\widehat{C'AB'}+\widehat{B'HC'}={{180}^{0}}\]

Mặt khác

\[\Rightarrow \widehat{C'AB'}+\widehat{H'}={{180}^{0}}\]

Suy ra tứ giác ABHC nội tiếp đường tròn (C).

Vậy H’ thuộc đường tròn (C).

• Tập hợp của H.

Gọi I là tâm của hình bình hành HBH’C. Ta có: \[\overrightarrow{H'I}=\overrightarrow{IH}\] nên

Khi A chạy trên (C) thì H’ cũng chạy trên(C) nên tập hợp của H là đường tròn (C’) ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm I nói trên.

Giải thích

• Để chứng minh H' thuộc đường tròn (C), ta chứng minh tứ giác ABH’C nội tiếp đường tròn đó.

• Một tứ giác nội tiếp đường tròn khi và chỉ khi tổng hai góc đối diện của nó bằng 180°.