§4. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

1) Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Nhận xét:

+) Cho hai đường thẳng a và b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q). Gọi \[\varphi \] là góc giữa (P) và (Q), \[\overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{2}}}\] lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b. Khi đó, ta có:

\[\varphi =(\overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{2}}})\] nếu \[(\overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{2}}})\le {{90}^{0}}\]

\[\varphi ={{180}^{0}}-(\overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{2}}})\] nếu \[(\overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{2}}})>{{90}^{0}}\]

Như vậy góc giữa hai đường thẳng luôn nhỏ hơn hoặc bằng \[{{90}^{0}}\]

+) Vectơ \[\overrightarrow{n}\ne 0\] được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với mp(P).

+ Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng: Trong thực hành, để xét góc giữa hai mặt phẳng ta theo quy tắc sau:

Khi hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến x, để tính góc giữa chúng ta chỉ việc xét một mp(R) vuông góc với x lần lượt cắt (P) và (Q) theo các giao tuyến a và b, lúc đó góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa hai đường thẳng a và b

II. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

1) Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng bằng \[{{90}^{0}}\]

Ký hiệu: (P)\[\bot \] (Q) hay (Q)\[\bot \] (P).

(P)\[\bot \] (Q)\[\Rightarrow \varphi ={{90}^{0}}\].

(với \[\varphi \] là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q)).

Suy ra: (P)\[\bot \] (Q)\[\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{1}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{2}}}\], với \[\overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{2}}}\] là vectơ pháp tuyến của (P) và (Q).

2) Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc:

a) Định lý 31: Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi một trong chúng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng còn lại.

\[\left( P \right)\supset a,a\bot \left( Q \right)\Leftrightarrow \left( P \right)\bot \left( Q \right)\]

Chú ý: Dùng định lý này để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc.

b) Các hệ quả:

*Hệ quả 1.

+) Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là điểm nằm trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P) :

\[\left( P \right)\bot \left( Q \right),A\in \left( P \right),a\bot \left( Q \right),A\in a\Leftrightarrow a\subset \left( P \right)\]

+) Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc thì bất cứ đường thẳng a nào thuộc (P) và vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) sẽ vuông góc với mặt phẳng (Q).

\[\left( P \right)\bot \left( Q \right),A\in \left( P \right),a\subset \left( P \right),A\in a\Leftrightarrow a\bot \left( Q \right)\]

* Hệ qủa 2. Hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.

\[\left( P \right)\cap \left( Q \right)=a,\left( P \right)\bot \left( R \right),\left( Q \right)\bot \left( R \right)\Leftrightarrow a\bot \left( R \right)\]

* Hệ qủa 3. Qua đường thẳng a không vuông góc với mp(P) có duy nhất mp(Q) vuông góc với mp(P)

A không vuông góc với (P) suy ra \[\exists \left( Q \right):\left( Q \right)\supset a,\left( Q \right)\bot \left( P \right)\]

III. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG. HÌNH HỘP CHỮ NHẬT. HÌNH LẬP PHƯƠNG

1) Hình lăng trụ đứng:

a) Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy

b) Nhận xét:

+) Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy

2) Hình lăng trụ đều:

a) Định nghĩa: Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

b) Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đều là những hình chữ nhật bằng nhau. Ngoài ra, hình lăng trụ đều có các tính chất của hình lăng trụ đứng.

3) Hình hộp đứng:

a) Định nghĩa: Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.

b) Nhận xét: Trong hình hộp đứng có bốn mặt bên là hình chữ nhật

4) Hình hộp chữ nhật:

a) Định nghĩa: Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật

b) Nhận xét: Tất cả sáu mặt của hình hộp chữ nhật đều là hình chữ nhật.

5) Hình lập phương:

Định nghĩa: Hình lập phương là hình hộp có tất cả các mặt là hình vuông.

IV. HÌNH CHÓP ĐỀU VÀ HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU

1) Hình chóp đều:

Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.

• Đường vuông góc kẻ từ đỉnh của hình chóp đến mặt đáy gọi là đường cao của hình chóp.

• Từ định nghĩa, suy ra:

+) Hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và chân đường cao của nó trùng với tâm của đa giác đáy.

+) Hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.

2) Hình chóp cụt đều:

Cho hình chóp đều S.A1A2...An. Một mặt phẳng (P) song song với đáy cắt các cạnh bên SA1, SA2... SAn, lần lượt tại A’1,A’2 ,…, A’n

a) Định nghĩa: Phần hình chóp đều S.A1A2...An nằm giữa đáy A1A2...An và (P) gọi là hình chóp cụt đều.

+) Đa giác A1A2...An và thiết diện A’1,A’2 ,…, A’n gọi là hai đáy.

+) Các hình A1A’1A’2 A2, ... AnA'nA'1A1 là các mặt bên.

+) Đoạn nối hai tâm O và O’ của hai đáy gọi là đường cao của hình chóp cụt đều

b) Nhận xét: Từ định nghĩa, suy ra:

Các mặt bên của hình chóp cụt đều là những hình thang cân bằng nhau.