§3. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. ĐỊNH NGHĨA
1) Định lý 23. Nếu hai đường thẳng cắt nhau b và c nằm trong mặt phẳng (P) và đường thẳng a vuông góc với cả b và c thì đường thẳng a vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).
c cắt b trong (P)
\[c\bot a,a\bot b\]
\[\forall d\subset \left( P \right)\]
\[\Rightarrow a\bot d\]
2) Định nghĩa: Một đường thẳng gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
Ký hiệu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) là: \[a\bot \left( P \right)\] hay \[\left( P \right)\bot a\]
3) Định lý 24. (Điều kiện để đường thẳng và mặt phẳng vuông góc).
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng thì đường thẳng ấy sẽ vuông góc với mặt phẳng đó.
Suy ra: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của tam giác thì sẽ vuông góc với cạnh còn lại của tam giác ấy.
Chú ý. Định lý này dùng để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
II. CÁC TÍNH CHẤT
1) Định lý 25. Qua một điểm O cho trước có duy nhất một mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a cho trước.
Suy ra:
+) Nếu O là trung điểm của đoạn thẳng AB thì có duy nhất một mặt phẳng qua O và vuông góc với AB. Mặt phẳng đó được gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
+) Tính chất của mặt phẳng trung trực: Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
2) Định lý 26. Qua một điểm O cho trước có duy nhất một đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước
III. LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
1) Định lí 27
a) Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
\[a//b,\left( P \right)\bot a\Rightarrow \left( P \right)\bot b\]
Chú ý. Tính chất này có thể dùng để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng.
b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
\[a\ne b,\left( P \right)\bot a,\left( P \right)\bot b\Rightarrow a//b\]
Chú ý: Tính chất này có thể dùng để chứng minh hai đường thẳng song song
2) Định lí 28
a) Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
\[\left( P \right)//\left( Q \right),a\bot \left( P \right)\Rightarrow a\bot \left( Q \right)\]
Chú ý. Tính chất này có thể dùng để chứng minh một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau.
\[\left( P \right)\ne \left( Q \right),a\bot \left( P \right),a\bot \left( Q \right)\Rightarrow \left( P \right)//\left( Q \right)\]
Chú ý. Trong hai tính chất 3 và 4 nếu ta thay cụm từ “đường thẳng" thành “mặt phẳng” thì tính chất này biến thành tính chất kia.
3) Định lí 29
a) Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với (P) thì cũng vuông góc với d.
\[a//\left( P \right),b\bot \left( P \right)\Rightarrow b\bot a\].
b) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.
\[a\not\subset \left( P \right)\]
\[a\bot b\]
\[\left( P \right)\bot b\]
\[\Rightarrow a//\left( P \right)\]
IV. ĐỊNH LÝ BA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC
1) Phép chiếu vuông góc. Trong phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương d, nếu d vuông góc với mp(P) thì ta gọi phép chiếu đó là phép chiếu vuông góc.
Chú ý.
• Phép chiếu vuông góc có mọi tính chất của phép chiếu song song
• Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P) còn được gọi là phép chiếu lên mp(P).
• Nếu (H’) là hình chiếu của hình (H) trên mp(P) thì ta cũng nói (H’) là hình chiếu của (H) trên mp(P).
2) Định lý 30. (Định lí ba đường vuông góc). Cho đường thẳng a có hình chiếu trên mp(P) là đường thẳng a’. Khi ấy một đường thẳng b nằm trong mp(P) vuông góc với a khi và chỉ khi nó vuông góc với a’ .
a' là hình chiếu của a trên (P)
\[b\subset \left( P \right),a'\bot b\]
\[\Rightarrow a\bot b\]
V. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Định nghĩa
+) Nếu đường thẳng a vuông góc với mp(P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mp(P) bằng 90°.
Suy ra: Gọi \[\beta \] là góc giữa đường thẳng a và mp(P) thì \[0\le \beta \le {{90}^{0}}\]
+) Nếu đường thẳng a không vuông góc với mp(P) thì góc giữa a và hình chiếu a' của nó trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và mp(P)