Chương III. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN, QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
§1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. CÁC ĐỊNH NGHĨA
Vectơ trong không gian
Vectơ và các phép toán về vectơ trong không gian được định nghĩa hoàn toàn giống như trong mặt phẳng.
Nhắc lại một số kiến thức đã học về vectơ trong Hình học lớp 10:
1) Quy tắc ba điểm. Với ba điểm A, B, C tùy ý, ta luôn có:
\[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\]
2) Hiệu của hai vectơ cùng gốc
\[\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\]
3) Quy tắc hình bình hành. Với hình bình hành ABCD tâm O, ta có:
\[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}=2.\overrightarrow{AO}\]
4) Quy tắc trung điểm
I là trung điểm của AB khi và chỉ khi \[\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\], \[\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OI}\]
(O là điểm tùy ý)
5) Trọng tâm tam giác
Với M là điểm tùy ý, ta có:
G là trọng tâm của \[\Delta ABC\]\[\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\]
\[\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}\]
6) Điều kiện để hai vectơ cùng phương
\[\overrightarrow{a}\] cùng phương \[\overrightarrow{b}\Leftrightarrow \overrightarrow{a}=k.\overrightarrow{b}\left( \overrightarrow{b}\ne 0 \right)\]
7) Hai vectơ bằng nhau: \[\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\Leftrightarrow \left| \overrightarrow{a} \right|=\left| \overrightarrow{b} \right|\] và \[\overrightarrow{a}\] cùng hướng với \[\overrightarrow{b}\]
8) Tích vô hướng của hai vectơ. Cho \[\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}\ne 0\], ta có:
\[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|.cos\left( \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \right)\]
9) Góc giữa hai vectơ (suy từ Công thức tích vô hướng của hai vectơ)
\[cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|}\]
10) Điều kiện vuông góc của hai vectơ. \[\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}\Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\]
II. SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VECTƠ. ĐIỀU KIỆN ĐỂ BA VECTƠ ĐỒNG PHẲNG
1. Định nghĩa: Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu ba đường thẳng chứa chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Từ định nghĩa suy ra:
O,A,B,C đồng phẳng \[\Leftrightarrow \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\] đồng phẳng
2. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng. Cho hai vectơ không cùng phương \[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\]
a) Định lý 18
\[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\] đồng phẳng \[\Leftrightarrow \exists \left( m,n \right)\in R:\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}\]
Suy ra:
• Nếu \[m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+p\overrightarrow{c}=0\] và một trong ba số m, n, p khác không thì ba vectơ \[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\] đồng phẳng.
• Nếu ba vectơ \[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\] không đồng phẳng và \[m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+p\overrightarrow{c}=0\] thì m = n =p=0.
b) Định lý 19
\[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\]không đồng phẳng \[\Rightarrow \exists \left( m,n,p \right)\in R:\overrightarrow{d}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+p\overrightarrow{c}\]