Bài 5. PHÉP CHIẾU SONG SONG. HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH TRONG KHÔNG GIAN

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I. PHÉP CHIẾU SONG SONG

1. Các định nghĩa. Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d không song song với (P)

• Với mỗi điểm M, đường thẳng qua M và song song với d sẽ cắt P tại M'. Điểm M' được gọi là hình chiếu của điểm M trên (P) theo phương d.

• Mặt phẳng (P) được gọi là mp chiếu.

• Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu M' của nó trên (P) được gọi là phép chiếu song song lên mp(P) theo phương d

• Hình chiếu M' của tất cả những điểm M thuộc hình H là một hình H' trên (P). Hình H' được gọi là hình chiếu của H qua phép chiếu song song nói trên.

• Chú ý: Ta chỉ xét hình chiếu của các đoạn thẳng hay đường thẳng không cùng phương với d.

II. TÍNH CHẤT

1. Định lý 12. Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của chúng.

Hệ quả: Hình chiếu song song của đường thẳng là đường thẳng, của đọan thẳng là đọan thẳng, của tia là tia.

2. Định lý 13. Hình chiếu song song của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng phương.

Hệ quả: Hình chiếu song song của hình bình hành không nằm trong mp song song với phương chiếu (hoặc mp của phương chiếu) là một hình bình hành.

3. Định lý 14: Phép chiếu song song không làm thay đổi tỷ số độ dài của hai đọan thẳng cùng phương

III. HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHÔNG GIAN TRÊN MẶT PHẲNG

1. Định nghĩa. Hình biểu diễn của một hình H trong không gian là hình chiếu song song của hình H lên một mp nào đó theo một phương chiếu nào đó (hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó).

2. Một số quy tắc vẽ hình biểu diễn. Khi vẽ hình biểu diễn của một hình không gian, ta cần chú ý một số điểm sau:

• Phép chiếu song song bảo toàn tính cùng phương của hai đọan thẳng: Nếu trên hình H có hai đọan thẳng cùng phương thì trên hình H' hai đọan thẳng đó cũng phải cùng phương.

• Phép chiếu song song bảo tòan tỷ số độ dài của hai đọan thẳng cùng phương. Do đó trung điểm của một đoạn thẳng có hình chiếu là trung điểm của đọan thẳng hình chiếu.

• Phép chiếu song song bảo toàn tính thẳng hàng của ba điểm và thứ tự của chúng. Do đó trong tam giác có một góc tù, ta cần chú ý chân đường cao kẻ từ đỉnh của góc nhọn không nằm trên cạnh đối diện mà ở trên phần kéo dài của cạnh ấy.

• Phép chiếu song song không bảo toàn độ lớn của góc. Do đó, một góc bất kỳ có thể biểu diễn cho mọi góc (nhọn, vuông, tù).

• Một tam giác bất kỳ có thể là hình biểu diễn của mọi tam giác (cân, đều, vuông).

• Hình bình hành có thể dùng làm hình biểu diễn cho các hình có tính chất của hình bình hành (vuông, thoi, chữ nhật,...).

• Một đường tròn được biểu diễn bằng một elip.