Vấn đề 2. Chứng minh ba vectơ đồng phẳng (hay bốn điểm đồng phẳng)
1. Phương pháp
1) Dựa vào định nghĩa: Chứng tỏ giá của ba vectơ đó song song với một mặt phẳng.
2) Dựa vào tính chất: .png)
2. Ví dụ
Ví dụ. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q là bốn điểm lần lượt lấy trên bốn cạnh AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng MN, PQ và AC đôi một song song thì bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng.
| Lời giải Ta có: \[MN//AC\Rightarrow \overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{AC}\] \[PQ//AC\Rightarrow \overrightarrow{PQ}=m\overrightarrow{AC}\]
\[\Rightarrow \overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}=(k+m)\overrightarrow{AC}\] \[\Rightarrow \overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}=(k+m)\frac{\overrightarrow{MN}}{k}\left( k\ne 0 \right)\] \[\Rightarrow \overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MQ}=(k+m)\frac{\overrightarrow{MN}}{k}\] \[\Rightarrow \frac{m}{k}.\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MQ}-\overrightarrow{MP}\] ⇒ \[\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP}\] và \[\overrightarrow{MQ}\] đồng phẳng Vậy bốn điểm M,N,P,Q đồng phẳng. | Giải thích Vì MN//AC nên hai vectơ \[\overrightarrow{MN}\] và \[\overrightarrow{AC}\] là hai vectơ cùng phương. Điều kiện cùng phương của hai vectơ cho ta \[\overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{AC}\] và \[\overrightarrow{PQ}=m\overrightarrow{AC}\]. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. |