Câu hỏi và bài tập

Lời giải

a) Biểu diễn.

\[\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{{A}'{C}'}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A\text{D}} \right)\]

\[=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{A'B'}+\overrightarrow{A'\text{D }\!\!'\!\!\text{ }} \right)\]

\[=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC} \right)=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{D'C'}+\overrightarrow{B'C'} \right)\]

\[\overrightarrow{AO'}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AC'} \right)=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{AD'} \right)\]

\[=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}'}\]

\[=\overrightarrow{A{B}'}+\frac{1}{2}\overrightarrow{{B}'{D}'}\]

\[=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{B}'}+\frac{1}{2}\overrightarrow{{B}'{D}'} =...\]

Giải thích

Ta có thể dùng quy tắc hình bình hành, quy tắc ba điểm,... để phân tích vectơ đã cho thành tổng, hiệu các vectơ theo yêu cầu đề bài.

b) Chứng minh

Để chứng minh một đẳng thức vectơ, ta thường phân tích vế phức tạp về vế đơn giản hơn. Ở đây ta phân tích vế trái thành vế phải.

Lời giải

Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác MNP . Ta có:
\[\overrightarrow{G{G}'}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{M{G}'}\] (1)

\[\overrightarrow{G{G}'}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{N{G}'}\] (2)

\[\overrightarrow{G{G}'}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CP}+\overrightarrow{P{G}'}\] (3)

(1)+(2)+(3) ta được:
\[3\overrightarrow{G{G}'}=\left( \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} \right)+\]

\[+\left( \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP} \right)+\left( \overrightarrow{M{G}'}+\overrightarrow{N{G}'}+\overrightarrow{P{G}'} \right)\]

\[\Rightarrow 3\overrightarrow{G{G}'}=\overrightarrow{A{A}'}\Rightarrow \overrightarrow{G{G}'}=\frac{1}{3}\overrightarrow{A{A}'}\]

Vì AA' không đổi nên \[\overrightarrow{AA'}\] cố định và G cố định nên \[\overrightarrow{GG'}\] cố định do đó G’ cố định.

Vậy mặt phẳng (MNP) luôn đi qua điểm cố định G’.

Giải thích

Trên cạnh AA' ta lấy các điểm M, N’ sau đó lấy N trên BB’ sao cho BN=MN’, lấy P trên CC’ sao cho CP=N’A’ khi đó:

• AM + BN +CP= a, và

Ta cũng chú ý rằng G và G’ tương ứng là trọng tâm các tam giác ABC và MNP nên:.

\[\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0},\]và

\[\overrightarrow{MG'}+\overrightarrow{NG'}+\overrightarrow{PG'}=\overrightarrow{0}\]

Lời giải

Ta có:

\[\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{AB'}-\overrightarrow{AB}\] (1)

\[=\overrightarrow{D'C'}-\overrightarrow{DC}\]

\[=\overrightarrow{DC'}-\overrightarrow{DD'}-\left( \overrightarrow{DC'}-\overrightarrow{C'C} \right)\] (2)

\[=\overrightarrow{CC'}-\overrightarrow{DD'}\] (3)

Chứng tỏ ba vectơ \[\overrightarrow{B{B}'},\overrightarrow{C{C}'},\overrightarrow{D{D}'}\] đồng phẳng.

Giải thích

Áp dụng quy tắc hiệu của hai vectơ cùng gốc, ta có (1).

Để có (2), cần chú ý rằng ABCD là hình bình hành nên ta có:

\[\overrightarrow{A{B}'}=\overrightarrow{D'{C}'}\], \[\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\]

Đẳng thức (3) chứng tỏ ba vectơ \[\overrightarrow{B{B}'},\overrightarrow{C{C}'},\overrightarrow{D{D}'}\] đồng phẳng.

Lời giải

\[\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A{{A}_{1}}}+\overrightarrow{{{A}_{1}}{{B}_{1}}}+\overrightarrow{{{B}_{1}}B}\]

\[=\overrightarrow{A{{A}_{1}}}+\overrightarrow{{{D}_{1}}{{C}_{1}}}+\overrightarrow{{{B}_{1}}B}\]

\[=\overrightarrow{A{{A}_{1}}}+\overrightarrow{{{D}_{1}}D}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{C{{C}_{1}}}+\overrightarrow{{{B}_{1}}B}\]

\[=\frac{3}{4}\overrightarrow{{{A}_{2}}{{A}_{1}}}+\frac{3}{4}\overrightarrow{{{D}_{1}}{{D}_{2}}}+\frac{3}{4}\overrightarrow{{{C}_{2}}{{C}_{1}}}+\frac{3}{4}\overrightarrow{{{B}_{1}}{{B}_{2}}}+\overrightarrow{DC}\]

\[=(\frac{3}{4}\overrightarrow{{{A}_{2}}{{D}_{1}}}+\overrightarrow{{{D}_{1}}{{A}_{1}}})+\frac{3}{4}(\overrightarrow{{{D}_{1}}{{A}_{2}}}+\overrightarrow{{{A}_{2}}{{D}_{2}}})\]

\[=\frac{3}{4}(\overrightarrow{{{C}_{2}}{{B}_{2}}}+\overrightarrow{{{B}_{2}}{{C}_{1}}})+\frac{3}{4}(\overrightarrow{{{B}_{1}}{{C}_{1}}}+\overrightarrow{{{C}_{1}}{{B}_{2}}})+\overrightarrow{DC}\]

\[=\frac{3}{4}(\overrightarrow{{{A}_{2}}{{D}_{1}}}+\overrightarrow{{{D}_{1}}{{A}_{2}}})+\frac{3}{4}(\overrightarrow{{{D}_{1}}{{A}_{1}}}+\overrightarrow{{{B}_{1}}{{C}_{1}}})\]

\[=\frac{3}{4}(\overrightarrow{{{A}_{2}}{{D}_{2}}}+\overrightarrow{{{C}_{2}}{{B}_{2}}})+\frac{3}{4}(\overrightarrow{{{B}_{2}}{{C}_{1}}}+\overrightarrow{{{C}_{1}}{{B}_{2}}})\]

\[\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\]

Vậy ABCD là hình bình hành.

Giải thích

Ta thấy các điểm A, B, C, D không thẳng hàng nên để chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành, ta cần chứng minh \[\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\]

Phân tích \[\overrightarrow{AB}\] về theo vectơ \[\overrightarrow{DC}\] và tổng các vectơ mà áp dụng được giả thiết cho và áp dụng được quy tắc hình bình hành (hai hình bình hành A1B1C1D1 và A2B2C2D2)

Cần chú ý rằng các điểm A, B, C,D thuộc các đoạn thẳng \[{{A}_{1}}{{A}_{2}},{{B}_{1}}{{B}_{2}},{{C}_{1}}{{C}_{2}},{{D}_{1}}{{D}_{2}}\] nên \[\frac{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}{A{{A}_{2}}}=3\Rightarrow \overrightarrow{A{{A}_{1}}}=3\overrightarrow{{{A}_{2}}A}=\frac{3}{4}\overrightarrow{{{A}_{2}}{{A}_{1}}}\]

Tương tự, ta có: \[\overrightarrow{C{{C}_{1}}}=\frac{3}{4}\overrightarrow{{{C}_{2}}{{C}_{1}}}\]

\[\overrightarrow{D{{D}_{1}}}=\frac{3}{4}\overrightarrow{{{D}_{2}}{{D}_{1}}}\], \[\overrightarrow{B{{B}_{1}}}=\frac{3}{4}\overrightarrow{{{B}_{2}}{{B}_{1}}}\]

Lời giải

a) Chứng minh \[\overrightarrow{P{P}'}+\overrightarrow{Q{Q}'}+\overrightarrow{R{R}'}=\vec{0}\]

Ta có: \[\overrightarrow{P{P}'}+\overrightarrow{Q{Q}'}+\overrightarrow{R{R}'}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A\text{D}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DA'}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DD'}\]

\[=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A\text{D}}+\overrightarrow{DA'})+\frac{1}{2}\overrightarrow{DD'}\]\[=\frac{1}{2}\overrightarrow{AA'}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DD'}\]

\[=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{A'A})=\vec{0}\]

Giải thích

b) Chứng minh hai tam giác...

Gọi G,G’ tương ứng là trọng tâm của hai tam giác PQR và P’Q’R’.

Ta có:

\[3\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{G{P}'}+\overrightarrow{G{Q}'}+\overrightarrow{G{R}'}\]

\[=\overrightarrow{GP}+\overrightarrow{PP'}+\overrightarrow{\text{GQ}}+\overrightarrow{QQ'}+\overrightarrow{GR}+\overrightarrow{R{R}'}\]

\[=(\overrightarrow{GP}+\overrightarrow{\text{GQ}}+\overrightarrow{GR})+(\overrightarrow{QQ'}+\overrightarrow{PP'}+\overrightarrow{R{R}'})\]

\[\Rightarrow \overrightarrow{\text{GG }\!\!'\!\!\text{ }}=0\Rightarrow G\equiv G'\]

• Để chứng minh hai điểm G và G’ trùng nhau, ta chứng minh \[\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{0}\]

• Áp dụng tính chất trọng tâm của tam giác.