§7. PHÉP VỊ TỰ

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I. ĐỊNH NGHĨA

Cho điểm I và một số k\[\ne \]0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho \[\overrightarrow{IM'}=k\overrightarrow{IM}\] được gọi là phép vị tự tâm I, tỉ số k.

Kí hiệu phép vị tự tâm I tỉ số k là

Suy ra:

=M’\[\Leftrightarrow \overrightarrow{IM'}=k\overrightarrow{IM}\]

II. TÍNH CHẤT

1) Giả sử M’, N’ theo thứ tự là ảnh của M, N qua phép vị tự tỉ số k. Khi đó

a) \[\overrightarrow{M'N'}=k\overrightarrow{MN}\]

b) M'N'=kMN

2) Phép vị tự tỉ số k

• Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa ba điểm ấy.

• Biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia và đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

• Biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, biến một góc thành một góc bằng nó.

• Biến một đường tròn có bán kính R thành một đường tròn có bán kính |k|R.

II. TÂM VỊ TỰ CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN

1. Định lí. Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Tâm của phép vị tự nói trên được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn.

2. Cách xác định tâm và tỉ số vị tự của hai đường tròn.

Cho hai đường tròn (I;R) và (I’;R’). Có ba trường hợp xảy ra:

• Nếu I trùng I’ thì phép vị tự tâm I tỉ số \[\frac{R'}{R}\] và phép vị tự tâm I tỉ số -\[\frac{R'}{R}\] biến đường tròn (I;R) thành đường tròn (I’;R’). (H. 1.68)

• Nếu \[I\ne I'\] và \[R\ne R'\] thì phép vị tự tâm O tỉ số \[k=\frac{R'}{R}\] và phép vị tự tâm , tỉ số \[k=-\frac{R'}{R}\] sẽ biến đường tròn (I;R) thành đường tròn (I;R’). Ta gọi O là tâm vị tự ngoài còn là tâm vị tự trong của hai đường tròn nói trên. (H. 1.69)

• Nếu \[I\ne I'\] và R = R’ thì phép vị tự tâm O, tỉ số \[k=-\frac{R'}{R}=-1\] sẽ biến đường tròn (I;R) thành đường tròn (I;R’).Đó chính là phép đối xứng tâm . (H. 1.70)