Vấn đề 2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

1. Phương pháp

Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b, ta có thể chứng minh:

• Đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) chứa b, hoặc

• Áp dụng định lí ba đường vuông góc.

2. Ví dụ 1

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA\[\bot \](ABCD).

a) Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh rằng AH\[\bot \]BC

b) Chứng minh rằng SC vuông góc với BD.

Lời giải

a) Chứng minh AH\[\bot \]BC

Ta có:

BC\[\bot \]AB, BC\[\bot \]SA, \[\Rightarrow \]BC\[\bot \] (SAB)

AH\[\subset \] (SAB)

\[\Rightarrow \]BC\[\bot \]AH

Giải thích

Ta chứng minh BC vuông góc với mặt phẳng (SAB).

Chú ý rằng vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA vuông góc với mọi đường thẳng trong (ABCD)

b) Chứng minh SC\[\bot \]BD

Ta có:

AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)

BD\[\bot \]AC (đường chéo hình vuông).

Vậy BD\[\bot \]SC.

Áp dụng định lí ba đường vuông góc.

Ví dụ 2. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì

a) Chứng minh rằng \[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0\]

b) Từ đó suy ra rằng trong một tứ diện nếu có hai cặp cạnh đối vuông góc thì cặp cạnh đối còn lại cũng vuông góc với nhau.

Lời giải

a) Chứng minh...

\[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})\]

\[=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\] (1)

\[\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AC}.(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})\]

\[=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}\] (2)

\[\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}.(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})\]

\[=\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}\] (3)

(1)+(2)+(3) ta có:

\[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0\]

Giải thích

Ta phân tích các vectơ \[\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{BC}\] thành hiệu của các vectơ cùng gốc A.

b) Chứng minh tứ diện có...

Giả sử tứ diện ABCD có:

\[AB\bot CD,AC\bot BD\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=0,\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}\]=0

Khi đó:

\[\Rightarrow \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0\]\[\Rightarrow AD\bot BC\]

Thay \[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=0\], \[\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}=0\] vaò đẳng thức đã chứng minh ở câu a).