C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 2.1. Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của tam giác ACD. Gọi I, J tương ứng là hai điểm trên cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD.
a) Hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IJM) và (ACD).
b) Lấy N là điểm thuộc miền trong của tam giác ABD sao cho JN cắt đoạn AB tại L. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNJ) và (ABC).
| Lời giải a) Giao tuyến của (IJM) và (ACD) Ta có:
Trong mp(BCD), gọi \[E\in \text{IJ}\cap CD\]:
\[\Rightarrow E\in (\text{IJM)}\cap (ACD)\] Vậy \[EM=(\text{IJM)}\cap (ACD)\] | Giải thích
|
| b) Giao tuyến của (MNJ) và (ABC). Ta có:
Trong mp(ABD), gọi \[F\in AD\cap LJ\] Trong mp(ACD), gọi \[K\in AC\cap FM\] \[\Rightarrow K\in (ABC)\cap (MNJ)\] Vậy \[LK=(ABC)\cap (MNJ)\] |
|
.png)
Bài 2.2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác ABCD có hai cạnh đối diện không song song. Lấy điểm M thuộc miền trong của tam giác SCD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
a) (SBM) và (SCD).
b) (ABM) và (SCD)
c) (ABM) và (SAC)
| Lời giải a) Giao tuyến của (SBM) và (SCD) Ta có: \[S\in (SMB)\cap (SCD)\] Gọi \[I\in SM\cap CD\] Thì \[I\in (SMB)\cap (SCD)\] Vậy \[SI=(SMB)\cap (SCD)\] b) Giao tuyến của (ABM) và (SCD) Ta có: \[M\in (ABM)\cap (SCD)\] Gọi \[F\in AB\cap CD\] Thì \[F\in (ABM)\cap (SCD)\] Vậy \[FM=(ABM)\cap (SCD)\] | Giải thích
|
| b) Giao tuyến của (ABM) và (SAC) Ta có: \[A\in (ABM)\cap (SAC)\] Gọi \[J\in SC\cap FM\] Thì \[J\in (ABM)\cap (SAC)\] Vậy \[AJ=(ABM)\cap (SAC)\] (H.130) | Cần chú ý rằng: • (ABM)=(AFM). • \[\Rightarrow J\in (ABM)\cap (SAC)\] |
Bài 2.3. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm I và lấy các điểm J, K lần lượt là điểm thuộc miền trong các tam giác BCD và ACD. Gọi L là giao điểm của JK với mặt phẳng (ABC).
a) Hãy xác định điểm L .
b) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (IJK) với các mặt của tứ diện ABCD.
| Lời giải a) Xác định L Gọi \[N\in DK\cap AC,M\in DJ\cap BC.\] Ta có:
\[\Rightarrow L\in JK\cap (ABC)\] Vậy điểm L hoàn toàn được xác định (H.2.12) | Giải thích
|
| b) Giao tuyến (IJK) và (ABC)
\[\Rightarrow (\text{IJK})\cap (ABC)=IL\] | \[\Rightarrow L\in JK\Rightarrow L\in (\text{IJK})\]
|
| • Giao tuyến (IJK) và (ACD) Trong (ABC):\[AC\cap IL=F\] \[\Rightarrow F\in (\text{IJ}K)\cap (ACD)\] (1) Trong (ACD): \[FK\cap CD=H\] \[\Rightarrow H\in (\text{IJ}K)\cap (ACD)\] (2) (1) và (2) \[\Rightarrow (\text{IJ}K)\cap (ACD)=FH\]
|
|
| • Giao tuyến (IJK) và (BCD) Trong (BCD): HJ\[\cap \]BD=E \[\Rightarrow (\text{IJ}K)\cap (BCD)=EH\] |
|
| • Giao tuyến (IJK) và (ABD) \[(\text{IJ}K)\cap (BCD)=EI\] |
|
Bài 2.4. Cho tứ diện ABCD có các điểm M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Lấy điểm K thuộc đoạn BD (K không là trung điểm của BD). Tìm giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNK).
| Lời giải
\[\Rightarrow AD\cap (MNK)=F\] Vậy F là điểm cần tìm.
| Giải thích
Khi đó trong mặt phẳng (ACD): EM và AD phải cắt nhau tại F, đó là giao điểm cần tìm.
|
.png)
Bài 2.5. Cho hình chóp S.ABCD. Lấy M, N và P lần lượt là các điểm trên các đoạn SA, AB và BC sao cho chúng không trùng với trung điểm của các đoạn thẳng ấy. Tìm giao điểm (nếu có) của mặt phẳng (MNP) với các cạnh của hình chóp.
| Lời giải • Giao điểm của SA với (MNP) Ta có: SA\[\cap \](MNP)= M. • Giao điểm của AB với (MNP) Ta có:AB\[\cap \](MNP)=N. • Giao điểm của BC với (MNP) Ta có:BC\[\cap \] (MNP)=P. | Giải thích
|
| • Giao điểm của SB với (MNP) Trong mặt phẳng (SAB), gọi \[E\in MN\cap SB\] Khi đó: SB\[\cap \] (MNP)=E. | Nếu \[\frac{AM}{AS}=\frac{AN}{AB}\] thì MN//SB. Lúc này SB không cắt (MNP) do đó sẽ không tồn tại các giao điểm K,L. |
| • Giao điểm của SC với (MNP) Trong mặt phẳng (SBC), gọi \[K=EP\cap SC\] Khi đó: SC\[\cap \] (MNP)=K. |
|
| • Giao điểm của CD với (MNP) Trong mặt phẳng (ABCD), goi \[F=NP\cap CD\] Khi đó: CD\[\cap \] (MNP)=F |
|
| • Giao điểm của SD với (MNP) Trong mặt phẳng (SCD), gọi \[L=FK\cap SD\] Khi đó: SD\[\cap \](MNP)=L. |
|
| • Giao điểm của AD với (MNP) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi \[Q\in NP\cap AD\]. Khi đó: AD\[\cap \] (MNP)=Q. |
|
Bài 2.6. Cho hình chóp S.ABCD. M và N tương ứng là các điểm thuộc các cạnh SC và BC. Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN).
| Lời giải Gọi \[I\in AN\cap BD,K\in AC\cap BD\] Trong mặt phẳng (SAC) gọi \[J\in AM\cap SK\] Ta có: \[(AMN)\cap (SBD)=JI\] Trong mặt phẳng (SBD) gọi \[E\in SD\cap JI\]
\[\Rightarrow SD\cap (AN)=E\] | Giải thích Hướng dẫn: • Chọn (SBD) làm mặt phẳng phụ chứa SD. • Tìm giao tuyến của (AMN) với (SBD) • Khi đó giao điểm của IJ và SD là giao điểm của SD và (AMN).
(Vì sao ta không chọn mặt phẳng (SCD) làm mặt phẳng phụ?) |
Bài 27. Cho tứ diện SABC. Trên SA, SB và AC lần lượt lấy các điểm D, E và F sao cho DE cắt AB tại 1, EF cắt BC tại J, FD cắt CA tại K. Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng.
| Lời giải Ta có:
\[\Rightarrow K\in (DEF)\cap (ABC)\] \[\Rightarrow \]I, J, K thẳng hàng vì chúng cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng (DEF) và (ABC).
| Giải thích Vì D, E, F thuộc ba cạnh của tứ diện nên chúng không thể thẳng hàng do đó tồn tại duy nhất mặt phẳng (DEF).
|
Bài 2.8. Cho hai mặt phẳng (\[\alpha \]) và .png)
cắt nhau theo giao tuyến d. Trong (\[\alpha \]) lấy hai điểm A và B sao cho AB cắt d tại I. O là một điểm nằm ngoài (\[\alpha \]) và (\[\beta \]) sao cho OA và OB lần lượt cắt (\[\beta \]) tại A' và B’.
a) Chứng minh ba điểm I,A’,B’ thẳng hàng.
b) Trong (\[\alpha \]) lấy điểm C sao cho A, B, C không thẳng hàng. Giả sử OC cắt (\[\beta \]) tại C', BC cắt B’C’ tại J, CA cắt C’A' tại K. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
| Lời giải a) Ta có:
Tương tự : \[A'\in (OAB)\cap (\beta ),B'\in (OAB)\cap (\beta )\] Vậy I,A’,B' thẳng hàng vì chúng cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng (\[\beta \]) và (OAB). | Giải thích Vì A, B thuộc (\[\alpha \]) còn O không thuộc (\[\alpha \]) nên tồn tại duy nhất mặt phẳng (OAB).
|
| b) Ta có:
Tương tự: \[J\in (\alpha )\cap (\beta ),K\in (\alpha )\cap (\beta )\] Vậy I,J,K thẳng hàng vì chúng cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng \[(\alpha )\] và \[(\beta )\]. | Vì A, B, C không thẳng hàng (giả thiết) nên tồn tại duy nhất mặt phẳng (ABC). |
Bài 2.9. Cho tứ diện SABC có D, E lần lượt là trung điểm của AC, BC và G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng \[(\alpha )\] qua AC cắt SE, SB lần lượt tại M, N. Một mặt phẳng \[(\beta )\] qua BC cắt SD, SA lần lượt tại P và Q.
a) Gọi I=AM\[\cap \]DN,J=BP\[\cap \]EC. Chứng minh bốn điểm S, I, J, G thẳng hàng.
Giả sử AN\[\cap \]DM =K, BQ\[\cap \]EP=L.
b) Chứng minh ba điểm S, K, L, thẳng hàng.
| a) Ta có:
(1), (2), (3) và (4) suy ra bốn điểm S, I, J và J thẳng hàng vì chúng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SDE). | Giải thích Ta chứng minh bốn điểm S, I, J, G nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng (SAE) và (SBD)
|
| b) Ta có:
(5), (6) và (7) suy ra ba điểm K, S, L thẳng hàng vì chúng nằm trên giao tuyến 4 của hai mặt phẳng (SAB) và (SDE) | Ta chứng minh ba điểm S, K, L nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SDE) |
.png)