B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Vấn đề. Ứng dụng của tích vô hướng
1. Phương pháp
Các ứng dụng của tích vô hướng thường gặp là
a) Tính độ dài của đoạn thẳng:
\[AB=\left| \overrightarrow{AB} \right|=\sqrt{\overrightarrow{A{{B}^{2}}}}\]
b) Tính góc giữa hai vectơ: \[\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \right|}\]
c) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc:
• Cách 1: Chứng minh góc giữa chúng bằng 90°.
• Cách 2: \[\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0\] (với \[\overrightarrow{u}//a\], \[\overrightarrow{v}//b\])
• Cách 3: \[x\bot a,x//b\Rightarrow a\bot b\]
2. Ví dụ
Ví dụ 1. Cho tứ diện SABC có \[\widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}={{90}^{0}}\]°. Chứng minh rằng:
a) \[\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB}\]
b) Các cặp cạnh đối của tứ diện vuông góc với nhau.
| Lời giải a) Chứng minh \[\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB}\] \[\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{(SC}-\overrightarrow{SB})=\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB}\] | Giải thích Phân tích: \[\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB}\] |
| b) Các cặp cạnh đối của tứ diện vuông góc với nhau Ta hãy chứng minh cặp cạnh đối SA và BC vuông góc với nhau. Các cặp còn lại được chứng minh tương tự. Ta có \[\widehat{CSA}={{90}^{0}}\Rightarrow \left( SA,SC \right)={{90}^{0}}\] \[\Rightarrow \overrightarrow{SA}\bot \overrightarrow{SC}\Rightarrow \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC}=0\] \[\widehat{ASB}={{90}^{0}}\Rightarrow \left( \overrightarrow{SA},\overrightarrow{SB} \right)={{90}^{0}}\] \[\Rightarrow \overrightarrow{SA}\bot \overrightarrow{SB}\Rightarrow \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB}=0\] Câu a cho: \[\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB}\] \[\Rightarrow SA\bot BC(dpcm)\] | Phân tích: \[\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC}=0\] và \[\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB}=0\] |
Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BB’.
a) Tính tích vô hướng \[\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AC'}\] biết rằng MA\[\bot \]CC’, AB\[\bot \]CC’
b) Tính độ dài đoạn thẳng MN
c) Tính góc giữa hai đường thẳng MN và AC’.
| Lời giải a) Tính tích vô hướng \[\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AC'}\] \[\overrightarrow{MN}=(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN})\] \[\overrightarrow{AC'}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC'})\] \[\Rightarrow \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+A{{B}^{2}}+\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{CC'}\] \[\Rightarrow \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AC'}=-MA.BC+A{{B}^{2}}+BN.CC'\] \[\Rightarrow \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AC'}=-\frac{{{a}^{2}}}{2}+{{a}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{2}={{a}^{2}}\] | Giải thích Cần chú ý rằng \[\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CC'}\] \[=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BN}=0\]
|
.png)
| b) Tính MN \[\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}\] ⇒ \[M{{N}^{2}}={{(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN})}^{2}}\]\[=M{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}+B{{N}^{2}}\] \[={{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}+{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}=\frac{6{{a}^{2}}}{4}\Rightarrow MN=\frac{a\sqrt{6}}{2}\] | Ta có \[\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BN}=0\] |
| c) Góc giữa hai đường thẳng MN và AC' Ta có:
|
|
.png)