Câu hỏi và bài tập ôn tập chương 1

Đáp số:

d': 3x-5y +12=0

Đề nghị độc giả xem lại cách giải

tương tự tại ví dụ 2, vấn đề 1, bài 1.

Lời giải

Vì CA = m không đổi nên tập hợp của C là đường tròn (C1) tâm A bán kính m.

Mặt khác \[D={{T}_{\overrightarrow{AB}}}(C)\] nên khi C chạy trên (C1) thì D chạy trên (C1)’ là ảnh của (C1) qua phép tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow{AB}\]. (C1)’ có tâm A’ là ảnh của A qua phép tịnh tiến nói trên, bán kính bằng m.

Giải thích

• Để tìm tập hợp của D, ta hãy tìm tập hợp của C là đường tròn (cần chú ý rằng C cách A một khoảng không đổi m).

• Vì AB cố định nên ta thấy D là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow{AB}\].

Lời giải

• Phân tích:

Giả sử bài toán đã giải xong, ta có

\[M\in AB,N\in AC\] và

Vẽ MD// CN (D\[\in \]BC). Tứ giác MDCN là hình bình hành nên: MD = NC.

Mặt khác: AM = NC

Do đó MD = AM\[\Rightarrow \Delta MAD\] cân tại M.

\[\Rightarrow \] AD là phân giác trong của góc\[\widehat{BAC}\].

Từ đó suy ra cách dựng như sau:

• Cách dựng:

Dựng phân giác trong AD của \[\widehat{BAC}\].

Kẻ DM//AC, M\[\in \]AB.

Dựng N là ảnh của M qua phép tịnh tiện theo vectơ \[\overrightarrow{DC}\].

M, N là hai điểm cần dựng.

• Chứng minh:

Ta có

\[N={{T}_{\overrightarrow{DC}}}(M)\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{DC}\]

\[\Rightarrow MN=CN\] (2)

(1) và (2) \[\Rightarrow AM=NC\]

Giải thích

• \[\widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{A}_{2}}}\] (AD là phân giác \[\widehat{BAC}\]

• \[\widehat{{{D}_{1}}}=\widehat{{{A}_{2}}}\] (DM//AC)

• \[\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{DC}\] \[\Rightarrow \] MNCD là hình bình hành

\[\Rightarrow MD=CN\]

Đáp số:

a) d1:3x+2y+6=0

b) d2: 2x-3y-4=0.

Đề nghị độc giả xem cách giải tương tự tại ví dụ 3, vấn đề 1, bài 3

Lời giải

Gọi I là tâm của hình bình hành AMBN, khi đó N là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I. Vì vậy, khi M chạy trên (C) thì N chạy trên (C’) là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm I nói trên.

Giải thích

Chú ý. Đường tròn (C) có tâm O’ là ảnh của O qua phép đối xứng tâm I, bán kính bằng bán kính của (C)

Lời giải.

• Phân tích:

Ta có:

\[CD=3AB\Leftrightarrow AD=AB=BC\]

nên có thể xem D là ảnh của B qua phép đối xứng tâm A.

Gọi c’1 là ảnh của c1 qua phép đối xứng tâm A thì . Từ đó suy ra cách dựng như sau:

• Cách dựng:

Dựng đường tròn c’1 là ảnh của c1 qua phép đối xứng tâm A.

Dựng D là giao điểm của c1’ và c2.

Dựng đường thẳng d qua A, D cắt c1 và c2 lần lượt tại B, C. d là đường thẳng cần dựng.

• Chứng minh:

Theo cách dựng thì d cắt c1, c2 lần lượt tại A,B,C,D.

\[\Rightarrow CD=3AB\]

• Biện luận:

Số nghiệm của bài toán phụ thuộc vào số giao điểm của c1’ và c2 nên bài toán có thể có 0, 1, 2 nghiệm hình .

Giải thích

Gọi I là trung điểm của AB thì

Ta có:

\[CD=3AB\]

\[\Leftrightarrow AD+AB+BC=3AB\]

\[\Leftrightarrow AD+BC=2AB\]

\[\Leftrightarrow AD=BC=AB\]

Gợi ý giải

Gọi \[A(2;0)\in d\cap Ox\]

\[B(0;2)\in d\cap Oy\] thì

\[A'(\sqrt{2};\sqrt{2})={{Q}_{(O;{{45}^{0}})}}(A)\]

\[B'(-\sqrt{2};\sqrt{2})={{Q}_{(O;{{45}^{0}})}}(B)\]

d’ đi qua A’, B’ nên d’: \[y=\sqrt{2}\]

Đề nghị đọc giả xem lại cách giải tương tự tại bài 1.27

Lời giải

Ta có:

Giải thích

• Vì G là tâm của tam giác ABC nên GA=GB=GC

Do đó khi thực hiện phép quay \[{{Q}_{\left( G,{{120}^{0}} \right)}}\] thì \[A\mapsto B\mapsto C\mapsto A\]

\[\Rightarrow \] MPNQ là hình thang cân.

Lời giải

Gọi F là phép đồng dạng biến

\[A\mapsto A',B\mapsto B',C\mapsto C'\]

Theo định nghĩa phép đồng dạng, ta có:

\[B'C'=kBC\Rightarrow B'C{{'}^{2}}={{k}^{2}}B{{C}^{2}}\]

\[\Rightarrow \overrightarrow{B'C{{'}^{2}}}={{k}^{2}}\overrightarrow{B{{C}^{2}}}\]

\[\Rightarrow {{\left( \overrightarrow{A'C'}-\overrightarrow{A'B'} \right)}^{2}}={{k}^{2}}{{\left( \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \right)}^{2}}\]

\[\Rightarrow A'C{{'}^{2}}+A'B{{'}^{2}}-2\overrightarrow{A'C'}.\overrightarrow{A'B'}={{k}^{2}}\left( A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB} \right)\] \[\Rightarrow \overrightarrow{A'C'}.\overrightarrow{A'B'}={{k}^{2}}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}\] (đpcm)

Giải thích

Để ý rằng, trong phép đồng dạng tỉ số k, ta có:

\[A'C'=kAC,A'B'=kAB\] nên

\[A'C{{'}^{2}}={{k}^{2}}A{{C}^{2}},A'B{{'}^{2}}={{k}^{2}}A{{B}^{2}}\]

Lời giải. Gọi F là phép đồng dạng biến \[A\mapsto {A}',B\mapsto {B}',C\mapsto {C}'\]

Ta có: \[\overrightarrow{AB}=p\overrightarrow{AC}\Rightarrow \overrightarrow{\frac{AB}{\overrightarrow{AC}}}=p\]

Mặt khác, định nghĩa phép đồng dạng cho:

\[\overrightarrow{A'B'}=p\overrightarrow{A'C'}\]

Giả sử A, B, C thẳng hàng và B ở giữa A và C khi đó:

\[\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}\] với (1)

Suy ra \[\overrightarrow{A'B'}=k\overrightarrow{A'C}\] với (2)

(2) chứng tỏ A’,B’,C’ thẳng hàng và B’ ở giữa A’ và C’.

Giải thích

Từ (1) suy ra (2), ta có thể chứng

minh như sau:

Định nghĩa phép đồng dạng cho ta:

\[\overrightarrow{A'B'}=k\overrightarrow{AB}\Rightarrow \overrightarrow{\frac{A'B'}{\overrightarrow{AB}}}=k\] (3)

\[\overrightarrow{A'C'}=k\overrightarrow{AC}\] (4)

Thay (3) vào (4):

\[\overrightarrow{A'C'}=\overrightarrow{\frac{A'B'}{\overrightarrow{AB}}}.\overrightarrow{AC}\] (5)

Giả thiết \[\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}\] (6)

Thay (6) vào (5):

\[\overrightarrow{A'C'}=\overrightarrow{\frac{A'B'}{k\overrightarrow{AC}}}\overrightarrow{AC}\]

\[\overrightarrow{A'B'}=k\overrightarrow{A'C'}\] (đpcm)

Lời giải

Lấy điểm N(x’;y’). Khi đó:

F(N)=N'(2x' –1;-2y'+3)

Ta có:

\[M'N{{'}^{2}}={{(2x'-1-2x+1)}^{2}}+{{\left( -2y'+3+2y-3 \right)}^{2}}\]

\[\Leftrightarrow M'N{{'}^{2}}=4\left[ {{\left( x'-x \right)}^{2}}+{{\left( y'-y \right)}^{2}} \right]\]

Mặt khác:

\[M{{N}^{2}}={{\left( x'-x \right)}^{2}}+{{\left( y'-y \right)}^{2}}\]

Do đó \[M'N{{'}^{2}}=4M{{N}^{2}}\Leftrightarrow M'N'=2MN\]

Chứng tỏ F là một phép đồng dạng với tỉ số k =2

Hướng dẫn

• Lấy điểm N bất kì. Tìm ảnh N’

của N qua phép biến hình F

• Hãy chứng tỏ M'N' =k.MN. Kết luận F là một phép đồng dạng.

Chú ý. Nhắc lại công thức khoảng cách giữa hai điểm A,B:

\[AB=\sqrt{{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)}^{2}}}\]

Lời giải

• Phân tích:

Giả sử bài toán đã giải được. Ta thấy B là ảnh của A qua phép đồng dạng F có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay \[{{Q}_{(C;\pm {{45}^{0}})}}\] và phép vị tự \[{{V}_{(C;\sqrt{2})}}\] nên B là giao điểm của đường thẳng a’ (ảnh của a) với b. Từ đó suy ra cách dựng.

• Cách dựng

Dựng a’ là ảnh của a qua phép đồng đạng F.

Dựng điểm\[B\in b\cap a'\].

Dựng trung trực d của BC cắt a tại A. Tam giác ABC là tam giác cần dựng.

• Chứng minh:

Theo cách dựng thì tam giác ABC cân tại A và \[\widehat{B}=\widehat{C}={{45}^{0}}\] nên \[\widehat{A}={{90}^{0}}\]do đó nó vuông cân tại A. Ngoài ra, ta còn có A\[\in \]a, B\[\in \]b.

• Biện luận:

Bài toán luôn có hai nghiệm hình.

Giải thích

Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên \[BC=AC\sqrt{2}\]. Chú ý rằng phép quay \[{{Q}_{(C;\pm {{45}^{0}})}}\] biến điểm A thành điểm A’; phép vị tự \[{{V}_{(C;\sqrt{2})}}\] biến A’ thành B.