CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG I

Bài 1.31. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: 3x-5y+3=0 và vectơ \[\overrightarrow{v}\]=(2;3). Hãy viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow{v}\].

Đáp số:

d': 3x-5y +12=0

Đề nghị độc giả xem lại cách giải

tương tự tại ví dụ 2, vấn đề 1, bài 1.

Bài 1.32. Cho hình bình hành ABCD có AB cố định, đường chéo AC = m không đổi. Chứng minh rằng khi C thay đổi, tập hợp các điểm C thuộc một đường tròn xác định.

Lời giải

Vì CA = m không đổi nên tập hợp của C là đường tròn (C1) tâm A bán kính m.

Mặt khác \[D={{T}_{\overrightarrow{AB}}}(C)\] nên khi C chạy trên (C1) thì D chạy trên (C1)’ là ảnh của (C1) qua phép tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow{AB}\]. (C1)’ có tâm A’ là ảnh của A qua phép tịnh tiến nói trên, bán kính bằng m.

Giải thích

• Để tìm tập hợp của D, ta hãy tìm tập hợp của C là đường tròn (cần chú ý rằng C cách A một khoảng không đổi m).

• Vì AB cố định nên ta thấy D là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow{AB}\].

Bài 1.33. Cho tam giác ABC. Tìm một điểm M trên cạnh AB và một điểm N trên cạnh AC sao cho MN song song với BC và AM = CN.

Lời giải

• Phân tích:

Giả sử bài toán đã giải xong, ta có

\[M\in AB,N\in AC\] và

Vẽ MD// CN (D\[\in \]BC). Tứ giác MDCN là hình bình hành nên: MD = NC.

Mặt khác: AM = NC

Do đó MD = AM\[\Rightarrow \Delta MAD\] cân tại M.

\[\Rightarrow \] AD là phân giác trong của góc\[\widehat{BAC}\].

Từ đó suy ra cách dựng như sau:

• Cách dựng:

Dựng phân giác trong AD của \[\widehat{BAC}\].

Kẻ DM//AC, M\[\in \]AB.

Dựng N là ảnh của M qua phép tịnh tiện theo vectơ \[\overrightarrow{DC}\].

M, N là hai điểm cần dựng.

• Chứng minh:

Ta có

\[N={{T}_{\overrightarrow{DC}}}(M)\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{DC}\]

\[\Rightarrow MN=CN\] (2)

(1) và (2) \[\Rightarrow AM=NC\]

Giải thích

• \[\widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{A}_{2}}}\] (AD là phân giác \[\widehat{BAC}\]

• \[\widehat{{{D}_{1}}}=\widehat{{{A}_{2}}}\] (DM//AC)

• \[\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{DC}\] \[\Rightarrow \] MNCD là hình bình hành

\[\Rightarrow MD=CN\]

Bài 1.34. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: 3x - 2y - 6=0.

a) Viết phương trình của đường thẳng d1 là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy.

b) Viết phương trình của đường thẳng d2 là ảnh của d qua phép đối xứng qua đường thẳng \[\Delta \]:x+y-2=0

Đáp số:

a) d1:3x+2y+6=0

b) d2: 2x-3y-4=0.

Đề nghị độc giả xem cách giải tương tự tại ví dụ 3, vấn đề 1, bài 3

Bài 1.35. Cho đường tròn (C) và hai điểm cố định phân biệt A, B thuộc (C). Một điểm M chạy trên đường tròn (trừ hai điểm A, B). Hãy xác định hình bình hành AMBN. Chứng minh rằng tập hợp các điểm N cũng nằm trên một đường tròn xác định.

Lời giải

Gọi I là tâm của hình bình hành AMBN, khi đó N là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I. Vì vậy, khi M chạy trên (C) thì N chạy trên (C’) là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm I nói trên.

Giải thích

Chú ý. Đường tròn (C) có tâm O’ là ảnh của O qua phép đối xứng tâm I, bán kính bằng bán kính của (C)

Bài 1.36. Cho hai đường tròn có cùng tâm O, bán kính lần lượt R, r (R> r). A là một điểm thuộc đường tròn bán kính r. Hãy dựng đường thẳng qua A cắt đường tròn bán kính r tại B, cắt đường tròn bán kính R tại C, D sao cho CD = 3AB.

Lời giải.

• Phân tích:

Ta có:

\[CD=3AB\Leftrightarrow AD=AB=BC\]

nên có thể xem D là ảnh của B qua phép đối xứng tâm A.

Gọi c’1 là ảnh của c1 qua phép đối xứng tâm A thì . Từ đó suy ra cách dựng như sau:

• Cách dựng:

Dựng đường tròn c’1 là ảnh của c1 qua phép đối xứng tâm A.

Dựng D là giao điểm của c1’ và c2.

Dựng đường thẳng d qua A, D cắt c1 và c2 lần lượt tại B, C. d là đường thẳng cần dựng.

• Chứng minh:

Theo cách dựng thì d cắt c1, c2 lần lượt tại A,B,C,D.

\[\Rightarrow CD=3AB\]

• Biện luận:

Số nghiệm của bài toán phụ thuộc vào số giao điểm của c1’ và c2 nên bài toán có thể có 0, 1, 2 nghiệm hình .

Giải thích

Gọi I là trung điểm của AB thì

Ta có:

\[CD=3AB\]

\[\Leftrightarrow AD+AB+BC=3AB\]

\[\Leftrightarrow AD+BC=2AB\]

\[\Leftrightarrow AD=BC=AB\]

Bài 1.37. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: x+y-2=0. Hãy viết phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép quay tâm O góc .

Gợi ý giải

Gọi \[A(2;0)\in d\cap Ox\]

\[B(0;2)\in d\cap Oy\] thì

\[A'(\sqrt{2};\sqrt{2})={{Q}_{(O;{{45}^{0}})}}(A)\]

\[B'(-\sqrt{2};\sqrt{2})={{Q}_{(O;{{45}^{0}})}}(B)\]

d’ đi qua A’, B’ nên d’: \[y=\sqrt{2}\]

Đề nghị đọc giả xem lại cách giải tương tự tại bài 1.27

Bài 138. Qua tâm G của tam giác đều ABC, kẻ đường thẳng a cắt BC tại M và cắt AB tại N, kẻ đường thẳng b cắt AC tại P, AB tại Q, đồng thời góc giữa a, b bằng 60°. Chứng minh rằng tứ giác MPNQ là hình thang cân.

Lời giải

Ta có:

Giải thích

• Vì G là tâm của tam giác ABC nên GA=GB=GC

Do đó khi thực hiện phép quay \[{{Q}_{\left( G,{{120}^{0}} \right)}}\] thì \[A\mapsto B\mapsto C\mapsto A\]

\[\Rightarrow \] MPNQ là hình thang cân.

Bài 139. Gọi A', B', C' tương ứng là ảnh của ba điểm A, B, C qua phép đồng dạng tỉ số k. Chứng minh rằng: \[\overrightarrow{A'B'}.\overrightarrow{A'C'}={{k}^{2}}.\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\].

Lời giải

Gọi F là phép đồng dạng biến

\[A\mapsto A',B\mapsto B',C\mapsto C'\]

Theo định nghĩa phép đồng dạng, ta có:

\[B'C'=kBC\Rightarrow B'C{{'}^{2}}={{k}^{2}}B{{C}^{2}}\]

\[\Rightarrow \overrightarrow{B'C{{'}^{2}}}={{k}^{2}}\overrightarrow{B{{C}^{2}}}\]

\[\Rightarrow {{\left( \overrightarrow{A'C'}-\overrightarrow{A'B'} \right)}^{2}}={{k}^{2}}{{\left( \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \right)}^{2}}\]

\[\Rightarrow A'C{{'}^{2}}+A'B{{'}^{2}}-2\overrightarrow{A'C'}.\overrightarrow{A'B'}={{k}^{2}}\left( A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB} \right)\] \[\Rightarrow \overrightarrow{A'C'}.\overrightarrow{A'B'}={{k}^{2}}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}\] (đpcm)

Giải thích

Để ý rằng, trong phép đồng dạng tỉ số k, ta có:

\[A'C'=kAC,A'B'=kAB\] nên

\[A'C{{'}^{2}}={{k}^{2}}A{{C}^{2}},A'B{{'}^{2}}={{k}^{2}}A{{B}^{2}}\]

Bài 1.40. Gọi A', B', C' tương ứng là ảnh của ba điểm A, B, C qua phép đồng dạng. Chứng minh rằng nếu \[\overrightarrow{AB}=p\overrightarrow{AC}\] thì \[\overrightarrow{A'B'}=p\overrightarrow{A'C'}\] trong đó p là một số. Từ đó chứng minh rằng phép đồng dạng biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và nếu điểm B nằm giữa hai điểm A, C thì điểm B’ nằm giữa hai điểm A’ và C’.

Lời giải. Gọi F là phép đồng dạng biến \[A\mapsto {A}',B\mapsto {B}',C\mapsto {C}'\]

Ta có: \[\overrightarrow{AB}=p\overrightarrow{AC}\Rightarrow \overrightarrow{\frac{AB}{\overrightarrow{AC}}}=p\]

Mặt khác, định nghĩa phép đồng dạng cho:

\[\overrightarrow{A'B'}=p\overrightarrow{A'C'}\]

Giả sử A, B, C thẳng hàng và B ở giữa A và C khi đó:

\[\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}\] với (1)

Suy ra \[\overrightarrow{A'B'}=k\overrightarrow{A'C}\] với (2)

(2) chứng tỏ A’,B’,C’ thẳng hàng và B’ ở giữa A’ và C’.

Giải thích

Từ (1) suy ra (2), ta có thể chứng

minh như sau:

Định nghĩa phép đồng dạng cho ta:

\[\overrightarrow{A'B'}=k\overrightarrow{AB}\Rightarrow \overrightarrow{\frac{A'B'}{\overrightarrow{AB}}}=k\] (3)

\[\overrightarrow{A'C'}=k\overrightarrow{AC}\] (4)

Thay (3) vào (4):

\[\overrightarrow{A'C'}=\overrightarrow{\frac{A'B'}{\overrightarrow{AB}}}.\overrightarrow{AC}\] (5)

Giả thiết \[\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}\] (6)

Thay (6) vào (5):

\[\overrightarrow{A'C'}=\overrightarrow{\frac{A'B'}{k\overrightarrow{AC}}}\overrightarrow{AC}\]

\[\overrightarrow{A'B'}=k\overrightarrow{A'C'}\] (đpcm)

Bài 1.41. Trong mặt phẳng Oxy xét phép biến hình F biến mỗi điểm M(x; y) thành M’(2x– 1;-2y + 3). Chứng minh rằng F là một phép đồng dạng.

Lời giải

Lấy điểm N(x’;y’). Khi đó:

F(N)=N'(2x' –1;-2y'+3)

Ta có:

\[M'N{{'}^{2}}={{(2x'-1-2x+1)}^{2}}+{{\left( -2y'+3+2y-3 \right)}^{2}}\]

\[\Leftrightarrow M'N{{'}^{2}}=4\left[ {{\left( x'-x \right)}^{2}}+{{\left( y'-y \right)}^{2}} \right]\]

Mặt khác:

\[M{{N}^{2}}={{\left( x'-x \right)}^{2}}+{{\left( y'-y \right)}^{2}}\]

Do đó \[M'N{{'}^{2}}=4M{{N}^{2}}\Leftrightarrow M'N'=2MN\]

Chứng tỏ F là một phép đồng dạng với tỉ số k =2

Hướng dẫn

• Lấy điểm N bất kì. Tìm ảnh N’

của N qua phép biến hình F

• Hãy chứng tỏ M'N' =k.MN. Kết luận F là một phép đồng dạng.

Chú ý. Nhắc lại công thức khoảng cách giữa hai điểm A,B:

\[AB=\sqrt{{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)}^{2}}}\]

Bài 1.42. Dựng tam giác ABC vuông cân tại A có C là một điểm cho trước, còn hai điểm A, B lần lượt thuộc hai đường thẳng a, b song song với nhau cho trước.

Lời giải

• Phân tích:

Giả sử bài toán đã giải được. Ta thấy B là ảnh của A qua phép đồng dạng F có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay \[{{Q}_{(C;\pm {{45}^{0}})}}\] và phép vị tự \[{{V}_{(C;\sqrt{2})}}\] nên B là giao điểm của đường thẳng a’ (ảnh của a) với b. Từ đó suy ra cách dựng.

• Cách dựng

Dựng a’ là ảnh của a qua phép đồng đạng F.

Dựng điểm\[B\in b\cap a'\].

Dựng trung trực d của BC cắt a tại A. Tam giác ABC là tam giác cần dựng.

• Chứng minh:

Theo cách dựng thì tam giác ABC cân tại A và \[\widehat{B}=\widehat{C}={{45}^{0}}\] nên \[\widehat{A}={{90}^{0}}\]do đó nó vuông cân tại A. Ngoài ra, ta còn có A\[\in \]a, B\[\in \]b.

• Biện luận:

Bài toán luôn có hai nghiệm hình.

Giải thích

Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên \[BC=AC\sqrt{2}\]. Chú ý rằng phép quay \[{{Q}_{(C;\pm {{45}^{0}})}}\] biến điểm A thành điểm A’; phép vị tự \[{{V}_{(C;\sqrt{2})}}\] biến A’ thành B.