Câu hỏi và bài tập

Lời giải

G1 là trọng tâm tam giác ACD nên:

\[\frac{E{{G}_{1}}}{EA}=\frac{1}{3}\] (1)

G2 là trọng tâm tam giác BCD nên:

\[\frac{E{{G}_{2}}}{EB}=\frac{1}{3}\] (2)

(1) và (2) \[\Rightarrow \frac{E{{G}_{1}}}{EA}=\frac{E{{G}_{2}}}{EB}\Rightarrow {{G}_{1}}{{G}_{2}}//AB\]

Ta có:

Giải thích

Áp dụng định lí 4.

Chú ý đến cạnh chung CD của hai tam giác ACD và BCD.

Lời giải

a) Chứng minh OO’//(ADF) và OO' //(BCE)

Giải thích

Cần chú ý rằng OO’ là đường trung

bình của hai tam giác BDF và ACE.

Ta có: \[\text{OO}'//DF,(ADF)\supset DF\Rightarrow \text{OO}'//(ADF)\]

Tương tự:

\[\text{OO}'//CE,(BCE)\supset CE\Rightarrow \text{OO}'//(BCE)\]

b) Chứng minh MN//(CEF)

Gọi I là trung điểm của AD thì M\[\in \]BI.

Ta có:

ADE có IO’ là đường trung bình nên:

IO’// DE (2)

(1) và (2)\[\Rightarrow \] MN // DE, DE\[\subset \] (CD,EF)\[\equiv \] (CEF) => MN //(CEF)

Ta có: EF // CD (vì cùng song song với AB) nên tồn tại mặt phẳng (CD,EF)\[\equiv \] (CEF).

Lời giải

a) Giao tuyến của (SAD) và (SBC)

Ta có:

\[\Rightarrow (SAD)\cap (SBC)=Sx\]

sao cho Sx//AD//BC

Giải thích

Áp dụng hệ quả của định lí 2.

b) Chứng minh NG//(SCD)

Ta có: \[\frac{AM}{AD}=\frac{1}{3},MN//AI//CD\Rightarrow \frac{IN}{IC}=\frac{1}{3}\] (1)

G là trọng tâm \[\Delta \]SAB nên:

\[\frac{IG}{IS}=\frac{1}{3}\] (2)

(1) và (2) \[\Rightarrow \frac{IN}{IC}=\frac{IG}{IS}\Rightarrow NG//SC,SC\subset (SCD)\]

\[NG//(SCD)\]

Ta hãy chứng minh: NG // SC.

Áp dụng định lí Thales đảo đối với mặt phẳng (ABCD) ta có:

\[\frac{IN}{IC}=\frac{AM}{AD}\]

(Hai đoạn thẳng song song AI, MN chắn trên hai cát tuyến những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ).

c) Chứng minh MG//(SCD)

Vē GH//IC (H\[\in \]SC) (3)

thì \[\frac{GH}{IC}=\frac{2}{3}\] (4)

Mặt khác: \[\frac{NC}{IC}=\frac{2}{3}\] (5)

(4) và (5)\[\Rightarrow \] NC =GH

Vē MK///IC (K\[\in \]CD) thì

Chú ý rằng CNMK là hình bình hành.

Lời giải

a) Chứng minh OG//(SBC)

Gọi J là trung điểm của SC thì \[G\in DJ\] và \[\frac{DG}{DJ}=\frac{2}{3}\] (1)

Mặt khác:

\[\Rightarrow OG//\left( SBC \right)\].

Giải thích

Để ý tam giác SCD (chứa trọng tâm G) và tam giác SBC có cạnh chung SC nên ta lấy trung điểm J của cạnh chung ấy. Làm như vậy, ta đã tạo được mối liên hệ giữa OG và BJ (chứa trong mặt phẳng (SBC)).

b) Chứng minh CM//(SAB)

Gọi N là trung điểm của SA, ta có:

Mặt khác:

\[\Rightarrow CM//\left( SAB \right)\]

c) Chứng minh SA//(BID)

BC//AD (7)

Mặt khác:

\[SC=\frac{3}{2}SI\Rightarrow \frac{SC}{SI}=\frac{3}{2}\Rightarrow \frac{SC-SI}{SI}=\frac{1}{2}\]

\[\Rightarrow \frac{CI}{SI}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{CI}{CS}=\frac{1}{3}\] (8)

(7) và (8) \[\Rightarrow \frac{OC}{AC}=\frac{CI}{CS}\Rightarrow SA//OI\] mà \[OI\subset (BDI)\]

\[\Rightarrow SA//(BDI)\]

Chứng minh tương tự câu a), ta có (7).

Để có (8), ta biến đổi:

\[\Rightarrow \frac{CI}{SI}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{CI}{CI+CS}=\frac{1}{1+2}\]

\[\Rightarrow \frac{CI}{CS}=\frac{1}{3}\]

Lời giải

a) Ta có:

Giải thích

Áp dụng định lí 5.

Để chứng minh MNPQ là hình bình hành, ta chứng minh nó có hai cặp cạnh đối song song

Tương tự, ta có:

\[(\alpha )\cap \left( ABD \right)=PQ//AB\]

\[(\alpha )\cap \left( ACD \right)=MQ//CD\]

Tứ giác MNPO có MN//PQ(//AB) và NP//MQ(//CD) nên MNPQ là hình bình hành.

b) Tập hợp của O

Ta có:

Gọi R là trung điểm của CD.

\[\left( ABR \right)\cap \left( \alpha \right)=IJ(I\in NP,J\in MQ)\]

Ta có:

\[\Rightarrow \]J là trung điểm của MQ.

Suy ra

Gọi \[S\in OR\cap AB\], khi đó

Ta có:

Vậy khi M di động trên AC thì O chạy trên đoạn RS.

Vậy tập hợp của O là đoạn thẳng RS.

Trước hết, ta dự đoán quỹ tích: Khi M trùng với C thì O trùng với R (trung điểm của CD), khi M trùng với A thì ô trùng với S (trung điểm của AB).

Dự đoán: Tập hợp cần tìm là đoạn RS.

Lời giải :

a) Hình tính tứ giác MNPQ

Tứ giác MNPQ có MQ//NP (//BC) nên nó là hình thang.

Áp dụng định lí 5.

Cần để ý rằng MN và PQ không song song.

b) Chứng minh I chạy trên đường thẳng...

Ta có:

\[\left( SCD \right)\supset CD\]

\[\left( SAB \right)\supset AB\]

\[AB//CD\]

\[S\in \left( SAB \right)\cap \left( SCD \right)\]

\[\Rightarrow \left( SAB \right)\cap \left( SCD \right)=Sx\]

(Sx//AB//CD nên Sx cố định)

Mặt khác:

\[I\in PQ\]

\[PQ\subset \left( SCD \right)\]

\[\Rightarrow I\in \left( SCD \right)\]

\[I\in MN\]

\[MN\subset \left( SAB \right)\]

\[\Rightarrow I\in \left( SAB \right)\]

Hướng dẫn.

Chứng minh I thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng cố định (SAB) và (SCD)

Sx cố định vì nó là giao tuyến của hai mặt phẳng cố định.