C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 2.16. Cho tứ diện ABCD. Gọi G1,G2 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD và BCD. Chứng minh G1G2 song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD).

Lời giải

G1 là trọng tâm tam giác ACD nên:

\[\frac{E{{G}_{1}}}{EA}=\frac{1}{3}\] (1)

G2 là trọng tâm tam giác BCD nên:

\[\frac{E{{G}_{2}}}{EB}=\frac{1}{3}\] (2)

(1) và (2) \[\Rightarrow \frac{E{{G}_{1}}}{EA}=\frac{E{{G}_{2}}}{EB}\Rightarrow {{G}_{1}}{{G}_{2}}//AB\]

Ta có:

Giải thích

Áp dụng định lí 4.

Chú ý đến cạnh chung CD của hai tam giác ACD và BCD.

Bài 2.17. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Gọi O là giao điểm của AC và BD, O' là giao điểm của AE và BF.

a) Chứng minh rằng OO' song song với hai mặt phẳng (ADF) và (BCE).

b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD và ABE.

Chứng minh rằng MN//(CEF).

Lời giải

a) Chứng minh OO’//(ADF) và OO' //(BCE)

Giải thích

Cần chú ý rằng OO’ là đường trung

bình của hai tam giác BDF và ACE.

Ta có: \[\text{OO}'//DF,(ADF)\supset DF\Rightarrow \text{OO}'//(ADF)\]

Tương tự:

\[\text{OO}'//CE,(BCE)\supset CE\Rightarrow \text{OO}'//(BCE)\]

b) Chứng minh MN//(CEF)

Gọi I là trung điểm của AD thì M\[\in \]BI.

Ta có:

ADE có IO’ là đường trung bình nên:

IO’// DE (2)

(1) và (2)\[\Rightarrow \] MN // DE, DE\[\subset \] (CD,EF)\[\equiv \] (CEF) => MN //(CEF)

Ta có: EF // CD (vì cùng song song với AB) nên tồn tại mặt phẳng (CD,EF)\[\equiv \] (CEF).

Bài 2.18. Cho hình chóp ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB và I là trung điểm của AB. Lấy điểm M trong đọan AD sao cho AD = 3AM.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

b) Đường thẳng qua M và song song với AB cắt CI tại N. Chứng minh rằng NG//(SCD).

c) Chứng minh rằng MG//(SCD).

Lời giải

a) Giao tuyến của (SAD) và (SBC)

Ta có:

\[\Rightarrow (SAD)\cap (SBC)=Sx\]

sao cho Sx//AD//BC

Giải thích

Áp dụng hệ quả của định lí 2.

b) Chứng minh NG//(SCD)

Ta có: \[\frac{AM}{AD}=\frac{1}{3},MN//AI//CD\Rightarrow \frac{IN}{IC}=\frac{1}{3}\] (1)

G là trọng tâm \[\Delta \]SAB nên:

\[\frac{IG}{IS}=\frac{1}{3}\] (2)

(1) và (2) \[\Rightarrow \frac{IN}{IC}=\frac{IG}{IS}\Rightarrow NG//SC,SC\subset (SCD)\]

\[NG//(SCD)\]

Ta hãy chứng minh: NG // SC.

Áp dụng định lí Thales đảo đối với mặt phẳng (ABCD) ta có:

\[\frac{IN}{IC}=\frac{AM}{AD}\]

(Hai đoạn thẳng song song AI, MN chắn trên hai cát tuyến những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ).

c) Chứng minh MG//(SCD)

Vē GH//IC (H\[\in \]SC) (3)

thì \[\frac{GH}{IC}=\frac{2}{3}\] (4)

Mặt khác: \[\frac{NC}{IC}=\frac{2}{3}\] (5)

(4) và (5)\[\Rightarrow \] NC =GH

Vē MK///IC (K\[\in \]CD) thì

Chú ý rằng CNMK là hình bình hành.

Bài 2.19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, đáy lớn là AD và AD=2BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD, G là trọng tâm của tam giác SCD.

a) Chứng minh rằng OG//(SBC).

b) Cho M là trung điểm của SD. Chứng minh rằng CM // (SAB).

c) Giả sử điểm I nằm trong đoạn SC sao cho \[SC=\frac{2}{3}SI\]. Chứng minh rằng SA //(BID).

Lời giải

a) Chứng minh OG//(SBC)

Gọi J là trung điểm của SC thì \[G\in DJ\] và \[\frac{DG}{DJ}=\frac{2}{3}\] (1)

Mặt khác:

\[\Rightarrow OG//\left( SBC \right)\].

Giải thích

Để ý tam giác SCD (chứa trọng tâm G) và tam giác SBC có cạnh chung SC nên ta lấy trung điểm J của cạnh chung ấy. Làm như vậy, ta đã tạo được mối liên hệ giữa OG và BJ (chứa trong mặt phẳng (SBC)).

b) Chứng minh CM//(SAB)

Gọi N là trung điểm của SA, ta có:

Mặt khác:

\[\Rightarrow CM//\left( SAB \right)\]

c) Chứng minh SA//(BID)

BC//AD (7)

Mặt khác:

\[SC=\frac{3}{2}SI\Rightarrow \frac{SC}{SI}=\frac{3}{2}\Rightarrow \frac{SC-SI}{SI}=\frac{1}{2}\]

\[\Rightarrow \frac{CI}{SI}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{CI}{CS}=\frac{1}{3}\] (8)

(7) và (8) \[\Rightarrow \frac{OC}{AC}=\frac{CI}{CS}\Rightarrow SA//OI\] mà \[OI\subset (BDI)\]

\[\Rightarrow SA//(BDI)\]

Chứng minh tương tự câu a), ta có (7).

Để có (8), ta biến đổi:

\[\Rightarrow \frac{CI}{SI}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{CI}{CI+CS}=\frac{1}{1+2}\]

\[\Rightarrow \frac{CI}{CS}=\frac{1}{3}\]

Bài 2.20. Cho tứ diện ABCD. Qua điểm M trên AC ta dựng một mặt phẳng (\[\alpha \]) song song với AB và CD. Mặt phẳng này lần lượt cắt các cạnh BC, BD và AD tại N, P và Q.

a) Tứ giác MNPQ là hình gì?

b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của tứ giác MNPQ. Tìm tập hợp các điểm O khi M di động trên đoạn AC.

Lời giải

a) Ta có:

Giải thích

Áp dụng định lí 5.

Để chứng minh MNPQ là hình bình hành, ta chứng minh nó có hai cặp cạnh đối song song

Tương tự, ta có:

\[(\alpha )\cap \left( ABD \right)=PQ//AB\]

\[(\alpha )\cap \left( ACD \right)=MQ//CD\]

Tứ giác MNPO có MN//PQ(//AB) và NP//MQ(//CD) nên MNPQ là hình bình hành.

b) Tập hợp của O

Ta có:

Gọi R là trung điểm của CD.

\[\left( ABR \right)\cap \left( \alpha \right)=IJ(I\in NP,J\in MQ)\]

Ta có:

\[\Rightarrow \]J là trung điểm của MQ.

Suy ra

Gọi \[S\in OR\cap AB\], khi đó

Ta có:

Vậy khi M di động trên AC thì O chạy trên đoạn RS.

Vậy tập hợp của O là đoạn thẳng RS.

Trước hết, ta dự đoán quỹ tích: Khi M trùng với C thì O trùng với R (trung điểm của CD), khi M trùng với A thì ô trùng với S (trung điểm của AB).

Dự đoán: Tập hợp cần tìm là đoạn RS.

Bài 2.21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là một điểm di động trên đoạn AB. Một mặt phẳng (\[\alpha \]) đi qua M song song với SA và BC; (\[\alpha \]) cắt SB, SC và SD lần lượt tại N, P và Q.

a) Tứ giác MNPQ là hình gì?

b) Gọi I là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh rằng I nằm trên một đường thẳng cố định.

Lời giải :

a) Hình tính tứ giác MNPQ

Tứ giác MNPQ có MQ//NP (//BC) nên nó là hình thang.

Áp dụng định lí 5.

Cần để ý rằng MN và PQ không song song.

b) Chứng minh I chạy trên đường thẳng...

Ta có:

\[\left( SCD \right)\supset CD\]

\[\left( SAB \right)\supset AB\]

\[AB//CD\]

\[S\in \left( SAB \right)\cap \left( SCD \right)\]

\[\Rightarrow \left( SAB \right)\cap \left( SCD \right)=Sx\]

(Sx//AB//CD nên Sx cố định)

Mặt khác:

\[I\in PQ\]

\[PQ\subset \left( SCD \right)\]

\[\Rightarrow I\in \left( SCD \right)\]

\[I\in MN\]

\[MN\subset \left( SAB \right)\]

\[\Rightarrow I\in \left( SAB \right)\]

Hướng dẫn.

Chứng minh I thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng cố định (SAB) và (SCD)

Sx cố định vì nó là giao tuyến của hai mặt phẳng cố định.