Câu hỏi và bài tập

Lời giải

a) Giao tuyến của (SAC) và (SBD)

Gọi O=AC\[\cap \]BD thì SO=(SAC)\[\cap \] (SBD)

Giải thích

Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng.

b) Giao tuyến của (SAB) và (SCD)

\[(SAB)\supset AB\]

\[(SCD)\supset CD\]

\[AB//CD\]

\[S\in (SAB)\cap (SCD)\]

\[\Rightarrow (SAB)\cap (SCD)=Sx(Sx//AB)\]

Áp dụng định lý 2.

c) Giao tuyến của (SAD) và (SBC)

Tương tự , ta có:

(SAD)\[\cap \] (SBC)=Sy (Sy//AD)

Áp dụng định lý 2.

Lời giải

Vì \[\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\] nên MN // BC.

Ta có:

\[\Rightarrow (DBC)\cap (DMN)=Dt,Dt//BC\]

Giải thích

Áp dụng định lí Thales đảo cho mặt phẳng (ABC), ta có MN//BC.

Lời giải

a) Giao tuyến của (MIJ) và (ABD)

Та сó

Giải thích

Áp dụng hệ quả của định lý 2

Vì IJ là đường trung bình của tam giác ABC nên IJ//AB.

b) Tập hợp của K

Ta có:

\[K\in IN,IN\subset (BCD)\Rightarrow K\in (BCD)\] (1)

\[K\in JM,JM\subset (ACD)\Rightarrow K\in (ACD)\] (2)

(1) và (2)\[\Rightarrow \] K\[\in \] (BCD)\[\cap \] (ACD) (3)

Mặt khác:(BCD)\[\cap \] (ACD)=CD (4)

(3) và (4)\[\Rightarrow K\in CD\].

Do đó khi M chạy trên AD thì K chạy trên hai đường thẳng CD.

Giới hạn: Khi M trùng với trung điểm của AD thì JM//IN // CD nên không có điểm K. Vậy tập hợp của K là hai nửa đường thẳng Dy và Cy’.

Hướng dẫn: Hãy chứng minh K thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (BCD).

c) Giao tuyến của (ABK) và (MIJ)

Ta có:

\[\Rightarrow (ABK)\cap (MIJ)=Kx\] với Kx//AB

Áp dụng hệ quả của định lí 2.

Lời giải

Đề nghị độc giả xem bài tương tự tại ví dụ của vấn đề 2.

Lời giải

Gọi M là trung điểm của AB, thì

\[I\in CM,J\in DM\]

Vì I,J là trọng tâm của \[\Delta \]ABC

và \[\Delta \]ABD nên ta có:

Giải thích

Để ý rằng hai tam giác ABC và ABD có cạnh AB chung nên ta chọn M là trung điểm của AB. Trong tam giác MCD, ta chứng minh IJ//CD

(bằng tính chất trọng tâm của tam giác).

Lời giải

a) Chứng minh MN // PQ

Ta có:

(ADJ)\[\supset \] AD, (SDC)\[\supset \] BC

AD//BC

J\[\in \] (ADJ)\[\cap \] (SBC)

\[\Rightarrow \] (ADJ)\[\cap \] (SBC)=MN:

Hướng dẫn

Áp dụng hệ quả của định 2.

Tương tự :

Vậy: MN//PQ vì cùng song song với BC.

b) Chứng minh EF//MN và EF//PQ

Ta có:

• Tính EF

Gọi U và T lần lượt là trung điểm của BC và AD. Ta có:

\[\Rightarrow \frac{SM}{SB}=\frac{SN}{SC}=\frac{2}{3}\] (1)

Tương tự: \[\frac{SP}{SA}=\frac{SQ}{SD}=\frac{2}{3}\] (2)

(1) và (2) \[\Rightarrow \frac{SM}{SB}=\frac{SP}{SA}\]\[\Rightarrow \] MP//AB

\[\Rightarrow \frac{MP}{AB}=\frac{SM}{SB}=\frac{2}{5}\]

Mặt khác:

\[\frac{MP}{AB}=\frac{EP}{EB}\Rightarrow \frac{2}{3}=\frac{EP}{EP+EB}\Rightarrow \frac{EP}{BP}=\frac{2}{5}\]

Gọi \[O\in CP\cap EF\], ta có

\[EO//BC\Rightarrow \frac{EP}{BP}=\frac{EO}{BC}\Rightarrow \frac{2}{5}=\frac{EO}{BC}\]

Áp dụng hệ quả của định lý 2.

• Nhắc lại tính chất của tỉ lệ thức:

Nếu \[\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\]thì \[\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}\]

\[\Rightarrow EO=\frac{2}{5}BC\Rightarrow EO=\frac{2}{5}b\] (3)

Tương tự, ta có:

\[\frac{FQ}{CN}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{CQ}{CF}=\frac{5}{3}\]

\[\frac{CF}{CQ}=\frac{FO}{FQ}\Rightarrow \frac{FO}{FQ}=\frac{3}{5}\Rightarrow FO=\frac{3}{5}FQ\]

\[\Rightarrow FO=\frac{3}{5}.\frac{2}{3}AD\Rightarrow FO=\frac{2}{5}a\] (4)

(3)+(4): \[EO+FO=\frac{2}{5}b+\frac{2}{5}a\]

Vậy \[EF=\frac{2}{5}\left( a+b \right)\]

• Biến đổi:

(1),(2) \[\Rightarrow \frac{SN}{SC}=\frac{SQ}{SD}\Rightarrow NQ//CD\]

\[\Rightarrow \frac{NQ}{CD}=\frac{SQ}{SD}=\frac{2}{3}\]

Mặt khác \[\Rightarrow \frac{FQ}{CF}=\frac{NQ}{CD}\Rightarrow \frac{FQ}{CF}=\frac{2}{3}\]

\[\Rightarrow \frac{FQ+CF}{CF}=\frac{5}{3}\Rightarrow \frac{CF}{CQ}=\frac{3}{5}\]