Câu hỏi và bài tập

Lời giải

Ta có:

\[AA'\bot \left( \alpha \right),BB'\bot \left( \alpha \right)\Rightarrow AA'//BB'\]

\[\Rightarrow \exists \left( AA',BB' \right)\]

\[\left( AA',BB' \right)\cap \left( \alpha \right)=A'B'\] (1)

mà \[O\in AB\cap \left( \alpha \right)\] nên \[O\in A'B'\]

(1) và (2) cho ta A’, O và B' thẳng hàng.

Trong mặt phẳng (AA', BB’), hai tam giác vuông OA'A và OB’B có:

OA'=OB’

\[\widehat{{{O}_{1}}}=\widehat{{{O}_{2}}}\] (đối đỉnh) nên

\[\Delta \]OA’A =\[\Delta \]OB’B\[\Rightarrow \]AA' =BB’.

Giải thích

Hai đường thẳng song song AA', BB’ xác định duy nhất mặt phẳng (AA',BB').

Lời giải

• Chứng minh (α) cắt (β)

Giả sử (α) //(β), khi đó:

CA\[\bot \] (α)

CB\[\bot \] (β)

(α) //(β)

\[\Rightarrow \]CA//CB: vô lí vì ABC là một tam giác.

Như vậy (α) và (β) không thể song song nhau.

Giả sử (α)\[\equiv \] (β), khi đó từ một điểm C ta kẻ được hai đường thẳng CA và CB cùng vuông góc với (α): vô lí.

Vậy (α) và (β) không thể trùng nhau.

Vậy (α) và cắt nhau theo giao tuyến d.

Giải thích

Ta chứng minh hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau bằng phản chứng.

Chú ý rằng hai mặt phẳng có ba vị trí tương đối. Nếu cả hai trường hợp song song và trùng nhau không xảy ra thì hai mặt phẳng đó phải cắt nhau.

• Chứng minh d\[\bot \] (ABC)

Ta có:

Ta chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (ABC).

a) Chứng minh AA'\[\bot \]BC, AA' \[\bot \]B’C’

Ta có: AH :hình chiếu của AA' trên (ABC)

BC\[\bot \]AH

\[\Rightarrow \]BC\[\bot \]AA'

mà B'C'//BC \[\Rightarrow \]AA' \[\bot \]B'C'.

Vậy: AA' \[\bot \]BC và AA' \[\bot \]B’C’

Giải thích

Áp dụng định lí ba đường vuông góc

b) Chứng minh BCC'B' là hình chữ nhật

Ta có:

AM =(AHA')\[\cap \] (ABC)

AH\[\in \] (AHA')\[\cap \] (ABC)

Suy ra H\[\in \]AM

Khi đó (AHA’)\[\equiv \] (AMM'A’)

BC\[\bot \]AM

BC\[\bot \]AA’

⇒ BC\[\bot \](AMM'A')

\[\Rightarrow \]BC\[\bot \]MM’ (1)

Tứ giác AMM’A’ là hình bình hành nên MM'//BB' (2)

(1) và (2)\[\Rightarrow \] BC\[\bot \]BB'.

Vậy BCC’B’ là hình chữ nhật vì nó là hình bình hành có hai cạnh BC và BB’ vuông góc. Ngoài ra, MM’ là đường cao của hình chữ nhật đó.

Chú ý rằng BCC'B' là hình bình hành. Nó trở thành hình chữ nhật khi có hai cạnh BC và BB' vuông góc.

Lời giải

• Chứng minh CD⊥CA

Ta có:

AB⊥CA (1)

mà CD//AB (2)

(1) và (2)\[\Rightarrow \] CD⊥CA.

Giải thích

Ta chứng minh AB⊥CA. Chú ý rằng một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.

Ta có:

AB⊥ (SAC)

mà CD // AB

\[\Rightarrow \]CD⊥ (SAC)

Chú ý rằng nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) và a//b thì đường thẳng b cũng song song với (P)

a) Chứng minh BC ⊥ AD

\[\Delta \]ABC cân tại A nên trung tuyến AI cũng là đường cao:

BC⊥AI (1)

\[\Delta \]DBC cân tại D nên trung tuyến DI cũng là đường cao:

BC⊥DI (2)

(1) và (2) suy ra: BC⊥ (ADI)\[\Rightarrow \] BC⊥AD.

Ta chứng minh BC vuông góc với mặt phẳng (ADI).

b) Chứng minh AH vuông góc với mặt phẳng (BCD)

Та сó:

BC ⊥ (ADI)

(ADI)\[\supset \] AH

=>BC ⊥AH

mà AH ⊥DI => AH ⊥ (BCD).

Ta chứng minh AH vuông góc với hai đường thẳng DI và BC cắt nhau trong mặt phẳng (BCD).

Lời giải

Phần thuận

• Giả sử MA = MB=MC. Gọi O’ là hình chiếu của M trên (\[\alpha \]).

• Xét ba tam giác O’AM,O'BM và O’CM , ta có:

O’M chung

MA=MB = MC

\[\Rightarrow \]\[\Delta \]O'AM= \[\Delta \]O'BM = \[\Delta \]O'CM

\[\Rightarrow \]O'A=O'B=O'C

\[\Rightarrow \]O'=O \[\Rightarrow \]MO\[\bot \] (\[\alpha \]) \[\Rightarrow \]M\[\in \]d

Vậy nếu M cách đều ba đỉnh của \[\Delta \]ABC thì nằm trên d

Phần đảo

Giả sử M\[\in \]d thì

\[\Delta \]O'AM= \[\Delta \]O'BM = \[\Delta \]O'CM (c-g-c)

nên MA = MB=MC.

Vậy nếu M thuộc d thì M cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Giải thích

Chú ý. Đường thẳng d nói trên được gọi là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.