5.2. NHỮNG DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

  • Dạng 1. Bài tập nhận biết

    • Dạng bài tập nhận biết chỉ yêu cầu học sinh nhớ khái niệm về quan hệ song song, quan hệ vuông góc trong không gian, nhớ công thức thể tích khối đa diện, thể tích khối tròn xoay và diện tích các mặt tròn xoay.

    Ví dụ 5.1. (Câu 35, Đề thử nghiệm môn Toán kì thi THPT Quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT)

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a và thể tích bằng Tính chiều cao h của hình chóp đã cho.

    A. \[h=\frac{\sqrt{3}a}{6}.\]

    B. \[h=\frac{\sqrt{3}a}{2}.\]

    C. \[h=\frac{\sqrt{3}a}{3}.\]

    D. \[h=\sqrt{3}a.\]

    Hướng dẫn giải

    Tam giác ABC là tam giác đều cạnh 2a nên đường cao của tam giác có độ dài bằng \[\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}\].

    Vậy diện tích tam giác ABC là

    \[{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}a\sqrt{3}.2a={{a}^{2}}\sqrt{3}.\]

    Thể tích khối chóp S.ABC là

    \[{{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}h.{{S}_{\Delta ABC}}\Rightarrow h=\frac{3{{V}_{S.ABC}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}=\sqrt{3}a.\]

    Vậy đáp án đúng là D.

    Nhận xét: Để làm bài toán này, chỉ cần yêu cầu người học biết áp dụng công thức thể tích khối chóp để tính đường cao:

    \[V=\frac{1}{3}h.S\Rightarrow h=\frac{3V}{S}.\]

    Ví dụ 5.2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, AC = a, BD = \[a\sqrt{3}\]. Biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 45°. Thể tích khối chóp S.ABCD là

    A. \[\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}.\]

    B. \[\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}.\]

    C. \[\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.\]

    D. \[\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}.\]

    Phân tích: Để làm bài toán này, học sinh cần biết ba yếu tố:

    - Công thức tính thể tích khối chóp.

    - Công thức tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc.

    - Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt.

    Hướng dẫn giải

    + Diện tích đáy ABCD:

    \[S=\frac{1}{2}AC.BD=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}.\]

    + \[AC\bot BD\] tại O.

    Trong tam giác vuông AOB, ta có

    \[\Rightarrow \] AB = a.

    Góc \[\widehat{SBA}=(\widehat{SB,(ABCD)})={{45}^{0}}\Rightarrow \Delta SAB\] vuông cân tại A \[\Rightarrow \] SA = AB = a.

    + \[{{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}\], vậy phương án A là đúng.