ĐỀ 5
Câu 1. Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{3x+1}{-x+1}$ có phương trình là:
A. y = -3. B. y = 3. C. y = 1. D. y = -1.
Câu 2. Giá trị cực đại của hàm số $y=x^{3}-3x+2$ là:
A. 4.
B. 1.
C. 0.
D. -1.
Câu 3. Đồ thị hàm số $y=-x^{3}-3x+4$ cắt trục tung tại điểm có toạ độ là:
A. (4;0). B. (0:4). C. (1;0). D. (0;-4).
Câu 4. Cho hàm số $y=\frac{x-3}{x+1}$, phát biểu nào sau đây là sai?
A. Hàm số không có cực trị.
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-$\infty$;-1).
C. Hàm số có hai tiệm cận.
D. Hàm số xác định trên $(-\infty;-1)\cup (-1;+\infty)$.
Câu 5. Hàm số nào sau đây đạt giá trị lớn nhất trên $\mathbb{R}$ ?
A. $y=x^{3}+x$
B. $y=2x+cos3x$
C. $y=\frac{x+2}{x-1}$
D. $y=sin2x-\sqrt{3}cos2x+2$
Câu 6. Số giao điểm của đường thẳng y = 2x - 1 và đồ thị hàm số $y=x^{3}-x-1$ là:
A. 3.
B. 0..
C. 2.
D. 1.
Câu 7. Hàm số nào trong các hàm số sau đồng biến trên $\mathbb{R}$?
A. y = tan x.
B. $y=x^{3}+x^{2}-2x$.
C. y = 5x + 2 cos2x.
D. $y=\frac{x-1}{x+1}$
Câu 8. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^{3}-3x$ song song với đường thẳng có phương trình nào sau đây?
A. y - 2x + 2017 = 0.
B. y + 2x + 2017 = 0.
C. -y + 2x – 2017 = 0.
D. 3y - 2x + 2017 = 0.
Câu 9. Điều kiện của tham số m để phương trình $x^{2}-4x-m=0$ có nghiệm thuộc [1;3] là:
A. $\exists m$
B. $m \in [3,4]$
C. $m \in (-4,-3]$
D. $m \in [-4,-3]$
Câu 10. Phương trình chuyển động của một chất điểm là $s=3t^{2}-t^{3}$. Thời điểm t (giây) mà vận tốc của vật đạt giá trị lớn nhất là:
A. t = 4 (giây). B. t = 2 (giây). C. t = 1 (giây). D. t = 6 (giây).
Câu 11. Với điều kiện nào của tham số thực m thì bất phương trình $\sqrt{x+1}+\sqrt{5-x}-m\leq 0$ có nghiệm?
A. $m \in [2\sqrt{3};+\infty)$
B. $m \in [2+\sqrt{2};+\infty)$
C. $m \in [\sqrt{2};2\sqrt{3}]$
D. $m \in [\sqrt{6};+\infty)$
Câu 12. Cho a > 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. $log_{a}5>0$.
B. $log_{a}5<0$.
C. $log_{\frac{1}{a}}4>0$
D. $log_{\frac{1}{a}} \frac{1}{4}<0$
Câu 13. Đặt $a=log_{15}3$. Giá trị của $a=log_{25}15$ bằng:
A. $\frac{2}{3(1-a)}$
B. $\frac{5}{3(1-a)}$
C. $\frac{3}{5(1-a)}$
D. $\frac{1}{2(1-a)}$
Câu 14. Giá trị của biểu thức nào dưới đây bằng $-\frac{1}{2}$?
A. $log_{a}\sqrt[4]{a^{2}}, (a>0, a\neq1)$
B. $log_{\frac{1}{a}}\sqrt[4]{a^{2}}, (a>0, a\neq1)$
C. $log_{\sqrt{a}}\sqrt[4]{a^{2}}, (a>0, a\neq1)$
D. $log_{a}\sqrt{a}, (a>0, a\neq1)$
Câu 15. Đạo hàm của hàm số $y=3^{-x}$ là:
A. $y'=3^{-x}ln3$
B. $y'=-3^{-x}ln3$
C. $y'=\frac{3^{-x}}{ln3}$
D. $y'=-\frac{3^{-x}}{ln3}$
Câu 16. Số nghiệm của phương trình log(x - 3) - log(x - 2) = 1 là:
A. 3.
B. 2.
C. 1.
D. 0.
Câu 17. Bình cần ít nhất 20 triệu để mua xe máy. Vì không có đủ tiền nên ngày đầu mỗi tháng Bình gửi 1 triệu vào ngân hàng theo phương thức lãi kép với lãi suất cố định 0,6% trên một tháng. Số tháng tối thiểu mà Bình cần gửi ngân hàng để đủ số tiền mua xe máy là:
A. 19. B. 18. C. 20. D. 17.
Câu 18. Tích các nghiệm của phương trình $3^{2x+1}-27.3^{x}=3^{x}-9$ bằng:
A. 3. B. 2. C. -3. D. -2.
Câu 19. Cho hàm số $y=xe+e^{-x}$, nghiệm của phương trình y' = 0 là:
A. x = -1.
B. x = 0.
C. x = ln2.
D. x = ln3.
Câu 20. Tập xác định của hàm số $y=\sqrt{log^{2}x-4logx+3}$ là:
A. $(0;10]\cup [10^{3};+\infty).$
B. $(0;1)\cup [10^{3};+\infty).$
C. $(0;10)\cup [10^{2};+\infty).$
D. $[1;10]\cup [10^{3};+\infty).$
Câu 21. Cho bất phương trình: $log_{2}^{4}x-log_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{x^{3}}{8}+log_{2}\frac{32}{x^{2}}<4log_{\frac{1}{2}}^{2}x$ (1).
Với điều kiện x > 0, bạn An biến đổi bất phương trình như sau:
Bước 1: $(1)\Leftrightarrow log_{2}^{4}x-log_{2}^{2}\frac{x^{3}}{8}+log_{2}\frac{32}{x^{2}}<4log_{2}^{2} (2)$
Bước 2: $(2)\Leftrightarrow log_{2}^{4}x-(log_{2}^{2}x^{3}-log_{2}^{2}8)+(log_{2}32-log_{2}x^{2})<4log_{2}^{2}x (3)$
Bước 3: $(3)\Leftrightarrow log_{2}^{4}x-(3log_{2}^{2}x-9)+5-log_{2}x^{2}<4log_{2}^{2}x$
Nhận xét nào sau đây là đúng:
A. Bạn An biến đổi sai từ bước 2.
B. Bạn An biến đổi sai từ bước 1.
C. Bạn An biến đổi sai từ bước 3.
D. Bạn An biến đổi đúng cả ba bước.
Câu 22. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. $\int_{1}^{e}lnxdx=xlnx-\int_{1}^{e}dx$
B. $\int_{1}^{e}lnxdx= \left.\begin{matrix} xlnx \end{matrix}\right|_{1}^{e}+\int_{1}^{e}dx$
C. $\int_{1}^{e}lnxdx=\left.\begin{matrix} xlnx \end{matrix}\right|_{1}^{e}-\int_{1}^{e}dx$
D. $\int_{1}^{e}lnxdx=xlnx+\int_{1}^{e}dx$
Câu 23. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. $\int_{-1}^{1}\begin{vmatrix} x \end{vmatrix}dx=-\int_{-1}^{0}xdx+\int_{0}^{1}xdx$
B. $\int_{-1}^{1}\begin{vmatrix} x \end{vmatrix}dx=\begin{vmatrix} \int_{-1}^{1}xdx \end{vmatrix}$
C. $\int_{-1}^{1}\begin{vmatrix} x \end{vmatrix}dx=\int_{-1}^{0}xdx+\int_{0}^{1}xdx$
D. $\int_{-1}^{1}\begin{vmatrix} x \end{vmatrix}dx=\int_{-1}^{1}xdx$
Câu 24: Tích phân $\int_{0}^{1}\sqrt{2x+1}dx$ có giá trị bằng:
A. $3\sqrt{3}-\frac{3}{2}$
B. $2\sqrt{3}-\frac{3}{2}$
C. $\frac{3\sqrt{3}-1}{3}$
D. $3\sqrt{3}-\frac{2}{3}$
Câu 25. Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^{2}$, đường thẳng x = 1 và trục hoành. Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) quanh trục Ox là:
A. $\frac{\pi}{5}+C$
B. $\frac{\pi}{5}$
C. $\frac{\pi}{3}$
D. $\frac{1}{5}$
Câu 26. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = $9-x^{2}$; y = 0; x = 1; x = 4, bằng:
A. $\frac{1}{7}$ (dvdt).
B. 7 (dvdt).
C. $\frac{3}{38}$ (dvdt).
D. $\frac{38}{3}$ (dvdt).
Câu 27. Cho $m \in [-2;0]$. Giá trị lớn nhất của tích phân: $\int_{0}^{1}(3m^{3}x^{3}-6mx+1)dx$ là:
A. -3.
B. 3.
C. 1.
D. -1.
Câu 28. Cho Elip có phương trình: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{1}=1, a>1$. Giá trị của hằng số a để diện tích hình tròn có chu vi bằng $3\pi$ đúng bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường Elip là:
A. $a=\frac{9}{4}$
B. a = 3.
C. $a=\frac{9}{3}$
D. $a=\frac{4}{3}$
Câu 29. Cho số phức z = (1 - i)(3 – 2i), phần thực của z là:
A. 3.
B. 5.
C. 1.
D. -5.
Câu 30. Cho 2 số phức $z_{1}, z_{2}$. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. $\begin{vmatrix} z_{1}+ z_{2} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} z_{1} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} z_{2} \end{vmatrix}$
B. $\begin{vmatrix} z_{1}. z_{2} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} z_{1} \end{vmatrix} . \begin{vmatrix} z_{2} \end{vmatrix}$
C. $\begin{vmatrix} z_{1}- z_{2} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} z_{1} \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} z_{2} \end{vmatrix}$
D. $\begin{vmatrix} z_{1} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} z_{2} \end{vmatrix}\Rightarrow z_{1}=z_{2}$
Câu 31. Gọi $z_{1}, z_{2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^{2}+z+1=0$. Giá trị của biểu thức $\begin{vmatrix} z_{1} \end{vmatrix}^{2}+\begin{vmatrix} z_{2} \end{vmatrix}^{2}$ bằng:
A. 0.
B. 1.
C. $\sqrt{2}$.
D. 2.
Câu 32. Cho số phức z thoả mãn $\begin{vmatrix} z-2i \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} z+1-i \end{vmatrix}$. Tập hợp điểm biểu diễn số phức trên là:
A. một đường thẳng.
B. một đường tròn.
C. hai đường thẳng phân biệt.
D. đường Elip.
Câu 33. Trong mặt phẳng phúc cho tam giác ABC có ba đỉnh A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn hình học của các số phức $z_{1}=1-2i; z_{2}=-1+3i; z_{3}=3+5i$. Giả sử w là số phức có biểu diễn hình học là trọng tâm của tam giác ABC. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. w = -1 + 2i.
B. w = 1 - 2i.
C. w = -1 - 2i.
D. w = 1 + 2i.
Câu 34. Trên mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn $\begin{vmatrix} z+2 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} z-2 \end{vmatrix}=6$ có phương trình là:
A. $\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$
B. $\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{9}=1$
C. $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$
D. $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$
Câu 35. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng $a\sqrt{3}$, (a>0), và chiều cao 2a. Diện tích xung quanh của hình trụ là:
A. $4\sqrt{3} \pi a^{2}$
B. $6\sqrt{3} \pi a^{2}$
C. $2\sqrt{3} \pi a^{2}$
D. $3\sqrt{3} \pi a^{2}$
Câu 36. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a,(a>0), góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60°. Thể tích của khối chóp là:
A. $\frac{1}{4}a^{3}$
B. $\frac{1}{8}a^{3}$
C. $\frac{3}{4}a^{3}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{12}a^{3}$
Câu 37. Khi quay một tam giác cân quanh trục đối xứng của nó sẽ sinh ra hình nào sau đây?
A. Hình vành khăn.
B. Hình trụ.
C. Hình cầu.
D. Hình nón.
Câu 38. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a,(a>0). Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Thể tích của khối chóp S.ABC là:
A. $\frac{\sqrt{3}}{4}a^{3}$
B. $\frac{1}{8}a^{3}$
C. $\frac{1}{4}a^{3}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{12}a^{3}$
Câu 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, $\Delta SBC$ đều cạnh a, (a > 0), và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết SD hợp với mặt phẳng đáy góc 45°, thể tích khối chóp đã cho là:
A. $\frac{\sqrt{6}}{4}a^{3}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{3}a^{3}$
C. $\frac{\sqrt{6}}{12}a^{3}$
D. $\frac{3\sqrt{3}}{4}a^{3}$
Câu 40. Cho mặt cầu S(O; R) và một điểm A ở ngoài mặt cầu. Qua A kẻ một cát tuyến cắt mặt cầu tại B, C. Giả sử $BC=R\sqrt{3}$. Khoảng cách từ O đến đường thẳng BC bằng:
A. R.
B. $R\sqrt{2}$.
C. $R\frac{\sqrt{3}}{2}$.
D. $\frac{R}{2}$.
Câu 41. Cho khối chóp S.ABCD với đáy là hình thoi, .png)
. Gọi O là giao điểm của AC và BD, biết SO vuông góc với mặt phẳng đáy và khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) bằng .png)
Thể tích của khối chóp S.ABCD là:
A. $\frac{\sqrt{3}}{8}a^{3}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{2}a^{3}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{3}a^{3}$
D. $\frac{1}{3}a^{3}$
Câu 42. Cho khối cầu có bán kính R, Khối trụ nội tiếp khối cầu (hai đường tròn đáy của khối trụ thuộc mặt cầu) có thể tích lớn nhất là bao nhiêu?
A. $V=\frac{4\pi R^{3}}{9}$
B. $V=\frac{\sqrt{3}\pi R^{3}}{9}$
C. $V=4\frac{\sqrt{3}\pi R^{3}}{3}$
D. $V=4\frac{\sqrt{3}\pi R^{3}}{9}$
Câu 43. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(1;-2; 3) và bán kính bằng 3. Phương trình chính tắc của (S) là:
A. (S): $(x+1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+3)^{2}=9$
B. (S): $(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z-3)^{2}=9$
C. (S): $(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z-3)^{2}=3$
D. (S): $(x+1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+3)^{2}=3$
Câu 44. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; -1; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình: x + 3y - z + 1 = 0. Đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là: A. $\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-2}{-1}$
B. x + 3y - z + 4 = 0
C. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z+1}{2}$
D. $\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+2}{-1}$
Câu 45. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường
.png)
Giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng Oxy có toạ độ là:
A. (-4;-1;0). B. (0;1;2). C. (-4;3;0). D. (4;-1;0).
Câu 46. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, điểm đối xứng với M(1;0;5) qua đường thẳng $d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{1}$ có toạ độ là:
A. (3;4;5). B. (3;4; –5). C. (3;4;0). D. (2;2;0).
Câu 47. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1;3;-4) và B(-1;2;2); Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là:
A. 4x - 2y + 12z + 17 = 0.
B. 4x - 2y - 12z – 17 = 0.
C. 4x + 2y + 12z – 17 = 0.
D. 4x + 2y - 12z - 17 = 0.
Câu 48. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng .png)
Đường vuông góc chung của $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$ có một vectơ chỉ phương là:
A. $\overrightarrow{u}(1;-1;1)$
B. $\overrightarrow{u}(1;1;-1)$
C. $\overrightarrow{u}(1;1;-3)$
D. $\overrightarrow{u}(1;1;3)$
Câu 49. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y + z = 0. Có bao nhiêu mặt phẳng (Q) đi qua O, vuông góc với mặt phẳng (P) và cách điểm M(1; 2;-1) một khoảng bằng $\sqrt{2}$?
A. 0.
B. 3.
C. 1.
D. 2.
Câu 50. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - 2y + 2z – 8=0 và hai điểm A(1; 2; 1); K(-1; 0; 2). Gọi M là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho MN + MK nhỏ nhất. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. M(2;0;3)
B. M(2;-1;2).
C. Cả ba phát biểu đều sai.
D. M(2;-2;1).
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
ĐỂ 5
.png)
Hướng dẫn giải
Câu 7. Từ yêu cầu của bài toán suy ra hàm số cần tìm phải xác định trên $\mathbb{R}$ nên ta loại A và D. Với phương án C ta có y' = 5 - 4sin2x $\geq$ 1, $\forall x \in \mathbb{R}$ nên ta chọn C.
Câu 8. Ta có $f'(x)=3x^{2}-3$, từ đây suy ra
$y=x^{3}-3x=x(x^{2}-1)-2x=\frac{1}{3}x.f'(x)-2x$.
Vì hoành độ hai điểm cực trị là nghiệm của phương trình $f'(x)=0$ nên ta suy ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là 2x + y = 0.
Do đó đường thẳng song song với đường thẳng 2x + y = 0, là 2x + y + 2017 = 0.
Vậy ta chọn B.
Câu 10. Vì $x=3t^{2}-t^{3}$, t > 0 nên vận tốc chuyển động là $v=s'=6t-3t^{2}.$
Ta có $v'=6-6t\Rightarrow v'=0\Leftrightarrow t=1.$
Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1) và nghịch biến trên (1;+$\infty$).
Do đó vận tốc đạt lớn nhất khi t = 1.
Ta chọn phương án C.
Câu 11. Xét hàm số $y=\sqrt{x+1}+\sqrt{5-x}$, điều kiện xác định là D = [-1;5].
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y=\sqrt{x+1}+\sqrt{5-x}$ để bất phương trình đã cho có nghiệm thì đường thẳng (d): y = m không nằm dưới đồ thị hàm số y = $f(x)$. Do đó $m\in [\sqrt{6};+\infty)$.
Vậy ta chọn D.
Câu 13. Ta có $log_{25}15=log_{5^{2}}(3.5)=\frac{1}{2}(1+log_{5}3)$;
$a=log_{15}3=\frac{1}{log_{3}15}=\frac{1}{1+log_{3}5}\Rightarrow log_{5}3=\frac{a}{1-a}$
Vậy ta chọn D.
Câu 18. Ta có $3^{2x+1}-27.3^{x}=3^{x}-9\Leftrightarrow (3^{x+1}-1)(3^{x}-9)=0$.
Suy ra $x_{1}=-1; x_{2}=2$.
Do đó ta chọn D.
Câu 19. Cách 1: Tính $y'=e-e^{-x}$, sau đó giải phương trình y' = 0.
Cách 2: Với việc sử dụng máy tính cầm tay, ta thay từng giá trị của x vào cận trong công thức bấm đạo hàm.
Do đó ta chọn A.
Câu 25. Ta có $V=\pi \int_{0}^{1}x^{4}dx=\frac{\pi}{5}$. Vậy ta chọn B.
Câu 26. Ta có
$S=\int_{1}^{4}\begin{vmatrix} 9-x^{2} \end{vmatrix}dx=\int_{1}^{3}(9-x^{2})dx+\int_{3}^{4}(x^{2}-9)dx=\frac{28}{3}+\frac{10}{3}=\frac{38}{3}$ (đvdt)
Vậy ta chọn D.
Câu 27. Tính tích phân, từ đó dẫn về tìm GTLN của hàm $f(m)=m^{3}-3m+1$ trên [-2;0]. Suy ra giá trị lớn nhất là 3.
Vậy ta chọn B.
Câu 28. Diện tích của hình tròn chu vi 3$\pi$ là $\frac{9\pi}{4}$.
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Elip $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ là $\pi$ab nên diện tích của Elip đã cho là $\pi$a. Do vậy $\pi a=\frac{9\pi}{4}$ hay $a=\frac{9}{4}$.
Vậy ta chọn A.
Câu 31. $z^{2}+z+1=0\Leftrightarrow z_{1,2}=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \begin{vmatrix} \frac{-1+ i\sqrt{3}}{2} \end{vmatrix}^{2}+\begin{vmatrix} \frac{-1- i\sqrt{3}}{2} \end{vmatrix}^{2}=2$.
Vậy ta chọn D.
Câu 34. Gọi M là điểm biểu diễn hình học của số phức z.
Gọi A$_{1}$ (-2;0), A$_{2}$(2;0).
Từ giả thiết suy ra MA$_{1}$ + MA$_{2}$ = 2.3. Vậy tập hợp các điểm M là elip có bán trục lần lượt là: 3 và $b=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$.
Vậy ta chọn C.
Câu 40. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên BC. Ta có OB = OC = R nên tam giác OBC cân tại O, do H là trung điểm của BC suy ra
$HB=HC=\frac{BC}{2}=\frac{R\sqrt{3}}{2}$.
Vậy khoảng cách từ O đến BC là OH $=\sqrt{OB^{2}-HB^{2}}=\frac{R}{2}$.
Vậy ta chọn D.
Câu 41. Trong tam giác OAB dựng OI $\perp$ AB, (I $\in$ AB). Ta suy ra
$\frac{1}{OI^{2}}=\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OB^{2}}$. Vậy $OI=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Trong tam giác SOI dựng đường cao OH, ta suy ra OH $\perp$ (SAB).
Vậy $OH=\frac{a\sqrt{3}}{4}$.
Trong tam giác vuông SOI ta có $\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OI^{2}}+\frac{1}{SO^{2}}$ suy ra $SO=\frac{a}{2}$. Mặt khác diện tích của hình thoi ABCD là $S_{ABCD}=2\sqrt{3}a^{2}$. Vậy ta có:
$V_{ABCD}=\frac{1}{3}.2\sqrt{3}a^{2}.\frac{a}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}a^{3}$ (đvtt)
Vậy ta chọn C.
Câu 42. Gọi chiều cao của khối trụ là 2x,( 0 < x < R), suy ra bán kính của khối trụ là $r=\sqrt{R^{2}-x^{2}}\Rightarrow V=2x \pi(R^{2}-x^{2})=2\pi (xR^{2}-x^{3})$.
Xét hàm số $f(x)=xR^{2}-x^{3}$ trên khoảng (0; R).
Ta suy ra thể tích lớn nhất là $V=\frac{4\pi R^{3}\sqrt{3}}{9}$.
Vậy ta chọn D.
Câu 48. Giả sử $\overrightarrow{u}$(a,b,c) là vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc chung của $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$, khi đó $\overrightarrow{u}$ $\perp$ (1;-1;0) và $\overrightarrow{u}$ $\perp$ (-1;2;1). Trong số các vectơ đã cho chỉ có $\overrightarrow{u}$(1;1;-1) thoả mãn.
Vậy ta chọn B.
Câu 49. Phương trình mặt phẳng (Q) qua O nên có dạng: Ax + By + Cz = 0 (với $A^{2}+B^{2}+C^{2} \neq0$).
Vì (P) $\perp$ (Q) nên: 1.A + 1.B + 1.C =0 $\Rightarrow$ C = -A -B (1)
Ta có $d(M,(P))=\sqrt{2}\Leftrightarrow \frac{\begin{vmatrix} A+2B-C \end{vmatrix}}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}=\sqrt{2}$.
$\Leftrightarrow (A+2B-C)^{2}=2(A^{2}+B^{2}+C^{2})$ (2)
Từ (1) và (2) ta được: $8AB+5B^{2}=0\Leftrightarrow$ .png)
Từ (3) có B = 0 $\Rightarrow$ C = -A. Chọn A = 1, C = -1 $\Rightarrow$ (P): x - z = 0
Từ (4) có 8A + 5B = 0.
Chọn A = 5, B = -8 $\Rightarrow$ C = 3 $\Rightarrow$ (P): 5x - 8y + 3z = 0.
Vậy ta chọn D.
Câu 50. Đáp án C.
Gợi ý. Các điểm trong đáp án A, B, D đều thuộc (P), nếu học sinh lấy từng điểm rồi tính giá trị biểu thức MN + MK rồi chọn đáp số nhỏ nhất sẽ gặp sai lầm.
Học sinh có thể sử dụng tính chất MN + MK $\geq$ MK, tuy nhiên đẳng thức không xảy ra vì dễ thấy N, K nằm cùng phía đối với (P).
Để đi đến đáp án đúng, học sinh cần tìm được điểm Q(3;-2;5) là điểm đối xứng với M qua (P), sau đó sử dụng tính chất MN + MK = MQ + MK $\geq$ KQ. Do đó biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của đường thẳng KQ với (P). Học sinh có thể tiến hành tìm giao điểm hoặc dễ dàng kiểm tra các kết quả A, B, D không phải thẳng hàng với K, Q. Do vậy đáp án C đúng.