Dạng 2. Các bài toán liên quan đến phương trình đường thẳng

Ví dụ 6.3. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm M(1;-1;2) và mặt phẳng (P) có phương trình: x + 3y - z + 1 = 0. Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là:

A. $\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-2}{-1}$

B. x + 3y - z + 4 = 0

C. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z+1}{2}$

D. $\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+2}{-1}$

Hướng dẫn giải

Áp dụng kiến thức cơ bản về lập phương trình đường thẳng, vì đã biết đường thẳng d đi qua M nên chúng ta cần xác định một vectơ chỉ phương của d. Do $d\perp (P)$ nên $\overrightarrow{u_{d}}=\overrightarrow{n_{p}}=(1;3;-1)$, tính toán cẩn thận, từ đó ta có phương án A là đúng.

Nhận xét: Đây là câu hỏi kiểm tra mức độ áp dụng kiến thức cơ bản nên có thể được coi ở mức độ thông hiểu, các em học sinh ở trình độ trung bình, nắm chắc các kiến thức cơ bản có thể làm được.

Ví dụ 6.4. (Câu 49, Đề minh hoạ môn Toán kì thi THPT Quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT)

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm A(1;0;2) và đường thẳng d có phương trình: $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{1}$ Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua A, vuông góc và cắt d.

A. $\Delta: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{1}$

B. $\Delta: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-1}$

C. $\Delta: \frac{x-1}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z-2}{1}$

D. $\Delta: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{-3}=\frac{z-2}{1}$

Hướng dẫn giải

- Cách 1: Vì đã biết đường thẳng $\Delta$ đi qua A nên chúng ta cần xác định một vectơ chỉ phương của nó. Do $\Delta$ vuông góc và cắt d nên nếu gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d thì $\overrightarrow{u_{a}}=\overrightarrow{AH}$. Vì vậy chúng ta tiến hành tìm toạ độ H, tính toán thật cẩn thận, từ đó ta có phương án B là đúng.

- Cách 2: Bằng cách quan sát các phương án, dễ thấy 4 phương án đã cho là 4 đường thẳng đi qua điểm A, do vậy sử dụng giả thiết "đi qua A" chúng ta không loại được phương án nào. Tuy nhiên với điều kiện $\Delta \perp d \Leftrightarrow \overrightarrow{u_{\Delta }}.\overrightarrow{u_{d }} = 0$, dễ thấy ngay phương án A và C bị loại. Còn lại hai phương án B và D, chọn tuỳ ý một phương án và dễ dàng kiểm tra được $\Delta$ có cắt d hay không, nếu may mắn chọn được ngay phương án cắt d thì đó là phương án đúng, nếu không thì phương án đúng sẽ là phương án còn lại. Kết quả đúng là phương án B.

Nhận xét:

– Với câu hỏi này, nếu làm theo cách 1, đơn thuần với tư duy kiểu tự luận đòi hỏi các em phải biết vận dụng kiến thức cơ bản vững vàng cùng với khả năng tính toán tốt mới tìm được phương án đúng, do đó câu hỏi được xếp vào loại vận dụng.

Với cách 2, chúng ta coi các phương án đã cho như là một phần của giả thiết, cùng với kiến thức cơ bản và phương pháp loại trừ, thử sai, chúng ta sẽ đi đến phương án B một cách dễ dàng hơn.