• Dạng 2. Nghiệm của phương trình, bất phương trình chứa mũ và lôgarit

    • Đối với các bài toán thuộc dạng này, điều quan tâm là nghiệm của phương trình và bất phương trình mũ, lôgarit. Trong thực tế, câu hỏi cho các bài toán dạng này sẽ rất phong phú và đa dạng. Từ đó, mỗi bài sẽ có những phương pháp giải riêng và được xếp vào các mức độ khác nhau phụ thuộc vào cách hỏi tương ứng.

    Ví dụ 2.3. (Câu 12, Đề minh hoạ môn Toán kì thi THPT Quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT)

    Giải phương trình \[{{\log }_{4}}(x-1)=3.\]

    A. x = 63.

    B. x = 65.

    C. x = 80.

    D. x = 82.

    Phân tích: Tuỳ theo sự nhìn nhận của mỗi người giải toán, chúng ta có thể có hai cách giải sau đây:

  • Cách 1: Nhận thấy đây là phương trình đơn giản và cơ bản của lôgarit, chúng ta có thể giải nhanh phương trình và đối chiếu với các phương án A, B, C, D đã cho để lựa chọn phương án đúng.
  • Cách 2: Lần lượt thay các giá trị x nêu ở bốn phương án A, B, C, D để tìm ra phương án đúng. Cách làm này sẽ dừng lại ngay khi chúng ta chọn được phương án đúng chứ không nhất thiết phải thay hết. Cách này có thể coi như bài toán tính giá trị của biểu thức vế trái của phương trình đã cho bằng các giả thuyết A, B, C, D.

    • Hướng dẫn giải

    + Cách 1: Phương trình đã cho tương đương với \[x-1={{4}^{3}}=64\Leftrightarrow x=65.\] Vậy phương án đúng là B.

    + Cách 2: Thay lần lượt các giá trị x nêu ở A, B, C, D vào vế trái của phương trình đã cho sẽ thấy x = 65 là nghiệm của phương trình. Vậy B là phương án đúng.

    Nhận xét: Bài toán ở ví dụ này nhằm kiểm tra định nghĩa của lôgarit và hiểu khái niệm nghiệm của phương trình. Câu hỏi ở ví dụ này là câu hỏi ở mức độ "nhận biết".

    Chú ý: Với bài trên ta có thể giải bằng máy tính cầm tay để đưa ra phương án đúng là B.

    Ví dụ 2.4. (Câu 14, Đề minh họa môn Toán kì thi THPT Quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT)

    Giải bất phương trình \[{{\log }_{2}}(3x-1)>3.\]

    A. x > 3.

    C. x < 3.

    D. \[x>\frac{10}{3}.\]

    Phân tích: Giống như Ví dụ 2.3, tuỳ theo sự nhìn nhận của mỗi người giải toán, chúng ta có thể có hai cách giải sau đây:

  • Cách 1: Câu hỏi đặt ra là tìm tập nghiệm của một bất phương trình đơn giản và cơ bản của lôgarit, chúng ta có thể giải nhanh bất phương trình và đối chiếu với các phương án A, B, C, D đã cho để lựa chọn phương án đúng.
  • Cách 2: Coi phương án đúng là một trong các phương án A, B, C, D. Làm tương tự Dạng 1, chúng ta sử dụng các giá trị thích hợp để loại trừ các phương án sai.

    • Hướng dẫn giải

  • Cách 1: Bất phương trình đã cho tương đương với

    • \[3x-1>{{2}^{3}}=8\Leftrightarrow 3x>9\Leftrightarrow x>3.\]

    Vậy phương án đúng là A.

  • Cách 2: Thử giá trị x = 1 chúng ta sẽ loại được phương án B và C. Chọn giá trị thích hợp chúng ta sẽ loại được phương án D. Vậy, A là phương án đúng.

    • Nhận xét:

    - Bài toán ở ví dụ này nhằm kiểm tra kĩ năng giải bất phương trình lôgarit đơn giản. Do đó, câu hỏi ở ví dụ này là câu hỏi ở mức độ "thông hiểu".

    - So sánh giữa hai cách giải trong trường hợp cụ thể ở ví dụ này chúng ta thấy rằng, việc lựa chọn giá trị của x để loại phương án D là tương đối "xấu” vì sự khác nhau giữa 2 phương án A và D là không nhiều. Khoảng cách giữa 3 và \[\frac{10}{3}\] không đủ để chúng ta chọn một giá trị "đẹp" và dễ tính toán. Do đó, trong trường hợp này, cách 1 được xem là "tốt" hơn.

    Ví dụ 2.5. Tổng các nghiệm của phương trình

    \[{{(\sqrt{5}-2)}^{x}}+{{(\sqrt{5}+2)}^{x}}-2\sqrt{5}=0\] là:

    A. 0

    B. 1

    C.3

    D.4

    Phân tích: Yêu cầu của bài toán này là tìm tổng các nghiệm của một phương trình mũ. Do đó, chúng ta không thể sử dụng phương pháp thử chọn để tìm ra phương án đúng mà buộc phải giải phương trình mũ hoặc ít nhất đưa về phương trình bậc hai để áp dụng công thức Vi-ét để tìm ra phương án đúng cho bài toán.

    Hướng dẫn giải

    Đặt \[t={{(\sqrt{5}-2)}^{x}}>0\] và chú ý \[(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)=1\], chúng ta có phương trình đã cho trở thành: \[t+\frac{1}{t}-2\sqrt{5}=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2\sqrt{5}t+1=0.\]

    Giải phương trình chúng ta thu được hai nghiệm \[{{t}_{1,2}}=\sqrt{5}\pm 2\], hay \[{{x}_{1,2}}=\pm 1.\]

    Vậy tổng hai nghiệm bằng 0 và phương án đúng là A.

    Nhận xét: Bài toán ở ví dụ này kiểm tra kĩ năng giải phương trình mũ nhằm giải quyết câu hỏi liên quan đến biểu thức chứa các nghiệm của phương trình mà không dừng lại ở những câu hỏi như tìm nghiệm hoặc phương trình có bao nhiêu nghiệm. Do đó, câu hỏi ở ví dụ này là câu hỏi ở mức độ "vận dụng".

    Ví dụ 2.6. Hai bạn An và Nguyên giải phương trình mũ \[{{3}^{x+1}}=2\] như sau:

    An: \[{{3}^{x+1}}=2\Leftrightarrow \log {{3}^{x+1}}=\log 2\Leftrightarrow (x+1)log3=log2\]

    \[\Leftrightarrow x\log 3+\log 3=\log 2\Leftrightarrow x\log 3=\log 2-\log 3\Leftrightarrow x=\frac{\log 2-\log 3}{\log 3}\]

    Nguyên: \[{{3}^{x+1}}=2\Leftrightarrow x+1={{\log }_{3}}2\Leftrightarrow x={{\log }_{3}}2-1.\]

    Khẳng định nào sau đây đúng:

    A. An và Nguyên cùng đúng.

    B. An đúng, Nguyên sai.

    C. An sai, Nguyên đáng.

    D. An và Nguyễn cùng sai.

    Phân tích: Bài toán trong ví dụ này đưa ra một phương trình mũ cơ bản cùng hai cách giải khác nhau. Bởi vậy, để tìm ra phương án đúng cho bài toán, chúng ta cần theo dõi cả hai cách giải đó.

    Hướng dẫn giải

    An sử dụng phương pháp lôgarit hoá và cách giải phương trình bậc nhất một ẩn để đưa ra lời giải. Trong khi đó, Nguyên sử dụng định nghĩa của lôgarit để giải phương trình. Cả hai bạn đều có biến đổi đúng trong quá trình giải phương trình. Vậy, phương án đúng là A.

    Nhận xét: Bài toán này không chỉ kiểm tra định nghĩa lôgarit mà còn kiểm tra kĩ năng hiểu và vận dụng phương pháp lôgarit hoá để kiểm tra lời giải có đúng không. Do đó, câu hỏi ở ví dụ này là câu hỏi ở mức độ "vận dụng".