Dạng 3. Các bài toán liên quan đến phương trình mặt cầu
Ví dụ 6.5. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu
(S): $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}+(z-3)^{2}=2$
Toạ độ tâm 1 và bán kính R của (S) lần lượt là:
A. I(2; -1; 3) và R = $\sqrt{2}$
B. I(2; -1; 3) và R = 2.
C. I(-2; 1; -3) và R = $\sqrt{2}$.
D. I(2; -1; 3) và R = 4.
Hướng dẫn giải
Áp dụng kiến thức cơ bản về phương pháp xác định tâm và bán kính của mặt cầu khi đã biết phương trình chính tắc, dễ thấy phương án A là đúng.
Nhận xét: Đây là câu hỏi kiểm tra mức độ nhớ kiến thức cơ bản nên có thể được coi ở mức độ nhận biết, các em học sinh ở trình độ trung bình, nắm chắc các kiến thức cơ bản có thể làm được.
Ví dụ 6.6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; -3; 2) và B(-3; 1; 2). Phương trình của mặt cầu (S) có đường kính AB là:
A: $(x+2)^{2}+(y+1)^{2}+(z-2)^{2}=13$
B. $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+(z+2)^{2}=13$.
C. $(x-3)^{2}+(y+2)^{2}+z^{2}=13$
D. $(x+3)^{2}+(y-2)^{2}+z^{2}=13$
Hướng dẫn giải
- Cách 1: Áp dụng kiến thức cơ bản về lập phương trình mặt cầu, chúng ta cần xác định toạ độ tâm và tính bán kính. Căn cứ vào giả thiết mặt cầu (S) có đường kính AB nên tâm là trung điểm của đoạn AB và bán kính là $\frac{AB}{2}$. Tính toán cẩn thận, từ đó ta có phương án A là đúng.
- Cách 2: Bằng cách quan sát các phương án, dễ thấy 4 phương án đã cho là 4 mặt cầu có cùng bán kính nên sự khác biệt được quyết định bởi tâm của mặt cầu. Dễ thấy tâm cầu là trung điểm của AB có toạ độ (-2; -1; 2), từ đó thu được phương án A là đúng.
Nhận xét:
– Với câu hỏi này, nếu làm theo cách 1, đơn thuần với tư duy kiểu tự luận đòi hỏi chúng ta phải biết vận dụng kiến thức cơ bản vững vàng mới tìm được phương án đúng, do đó câu hỏi được xếp vào loại thông hiểu.
- Với cách 2, chúng ta coi các phương án đã cho như là một phần của giả thiết, cùng với điều kiện đã cho và áp dụng phương pháp loại trừ, thử – sai, chúng ta sẽ đi đến phương án A một cách dễ dàng hơn. Do đó, nếu nhìn nhận theo cách 2 thì câu hỏi này được xếp vào loại nhận biết.