Ví dụ 3.4. (Câu 23, Đề minh hoạ môn Toán kì thi THPT Quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT)
Tìm nguyên hàm của hàm số \[f(x)=\sqrt{2x-1}\]
A. \[\int{f(x)dx=\frac{2}{3}}(2x-1)\sqrt{2x-1}+C.\]
B. \[\int{f(x)dx=\frac{1}{3}}(2x-1)\sqrt{2x-1}+C.\]
C. \[\int{f(x)dx=-\frac{1}{3}}\sqrt{2x-1}+C.\]
D. \[\int{f(x)dx=\frac{1}{2}}\sqrt{2x-1}+C.\]
Hướng dẫn giải
\[\sqrt{2x-1}dx=\frac{1}{2}{{(2x-1)}^{\frac{1}{2}}}(2x-1)'dx=\frac{1}{2}{{(2x-1)}^{\frac{1}{2}}}d(2x-1).\]
Đặt u = 2x - 1. Áp dụng công thức (3.1) ta được
\[\int{f(x)dx=\int{\sqrt{2x-1}dx=\int{\frac{1}{2}}}}{{(2x-1)}^{\frac{1}{2}}}d(2x-1)=\int{\frac{1}{2}{{u}^{\frac{1}{2}}}du=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}}{{u}^{\frac{3}{2}}}+C\]
\[=\frac{1}{3}{{(2x-1)}^{\frac{3}{2}}}+C=\frac{1}{3}(2x-1)\sqrt{2x-1}+C.\]
Do đó, ta chọn B.
Hai phương án A và B khác nhau ở một phần hệ số: 2 ở phương án A và 1 ở phương án B. Từ công thức đạo hàm của hàm hợp: \[(f[u(x)\text{ }\!\!]\!\!\text{ })'=f'\text{ }\!\![\!\!\text{ }u(x)\text{ }\!\!]\!\!\text{ u }\!\!'\!\!\text{ (x)}\] nên nhiều khả năng phương án B là đúng.
Thử lại phương án B ta có:
\[(\frac{1}{3}(2x-1)\sqrt{2x-1})'=\frac{1}{3}\text{ }\!\![\!\!\text{ }{{(2x-1)}^{\frac{3}{2}}}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }'=\sqrt{2x-1}.\]
Vậy ta chọn phương án B.
Nhận xét: Giống như ví dụ 3.1. Đây là bài toán ở cấp độ "thông hiểu”. Ở cách 2, bằng cách nắm được đặc điểm của nguyên hàm cần tìm ta có thể lựa chọn được phương án đúng mà không cần phải tiến hành các tính toán chi tiết như cách 1.
Ví dụ 3.5. Phát biểu nào sau đây là sai?
A. \[\int{\frac{1}{{{x}^{2}}}}\sin \frac{1}{x}\cos \frac{1}{x}dx=\frac{1}{4}\cos \frac{2}{x}+C.\]
B. \[\int{\frac{1}{{{x}^{2}}}}\sin \frac{1}{x}\cos \frac{1}{x}dx=-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}\frac{1}{x}+C.\]
C. \[\int{\frac{1}{{{x}^{2}}}}\sin \frac{1}{x}\cos \frac{1}{x}dx=\frac{1}{2}{{\cos }^{2}}\frac{1}{x}+C.\]
D. \[\int{\frac{1}{{{x}^{2}}}}\sin \frac{1}{x}\cos \frac{1}{x}dx=\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}\frac{1}{x}+C.\]
Hướng dẫn giải
\[\int{\frac{1}{{{x}^{2}}}}\sin \frac{1}{x}\cos \frac{1}{x}dx=-\int{\sin u\cos udu=-\frac{1}{2}}\int{\sin 2udu=}\frac{1}{4}\cos 2u+C=\frac{1}{4}\cos \frac{2}{x}+C.\]
Vậy A là phát biểu đúng.
Sử dụng công thức hạ bậc \[\cos \frac{2}{x}=2{{\cos }^{2}}\frac{1}{x}-1=1-2{{\sin }^{2}}\frac{1}{x}\], ta suy ra các phát biểu B, C là đúng.
Vậy ta chọn D.
\[\left( \frac{1}{4}\cos \frac{2}{x}+C \right)'=\frac{1}{4}(-\sin \frac{2}{x})(\frac{2}{x})'=\frac{1}{{{x}^{2}}}\sin \frac{1}{x}\cos \frac{1}{x}.\]
Vậy A là một phát biểu đúng.
Sử dụng công thức \[\cos \frac{2}{x}=2{{\cos }^{2}}\frac{1}{x}-1=1-2{{\sin }^{2}}\frac{1}{x}\], ta suy ra các phát biểu B, C cũng đúng.
Vậy ta chọn D.
\[\int{\frac{1}{{{x}^{2}}}\sin }\frac{1}{x}\cos \frac{1}{x}dx+\int{\frac{1}{{{x}^{2}}}}\sin \frac{1}{x}\cos \frac{1}{x}dx=-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}\frac{1}{x}+C+\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}\frac{1}{x}+C=C+C.\]
Đây là một phát biểu sai, vậy trong các phát biểu B và D có một phát biểu sai. Tương tự, lấy C+D ta được
\[\int{\frac{1}{{{x}^{2}}}\sin }\frac{1}{x}\cos \frac{1}{x}dx+\int{\frac{1}{{{x}^{2}}}}\sin \frac{1}{x}\cos \frac{1}{x}dx=\frac{1}{2}{{\cos }^{2}}\frac{1}{x}+C+\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}\frac{1}{x}+C=\frac{1}{2}+C+C.\]
Đây cũng là một phát biểu sai, do đó trong các phát biểu C và D có một phát biểu sai.
Bởi vì ta chỉ có một phát biểu sai nên ta chọn phương án D.
Nhận xét: Bài toán ở ví dụ này có thể xếp ở cấp độ "vận dụng thấp". Ở cách 3, bằng cách quan sát kĩ các phương án và dựa trên suy luận lôgic ta có thể lựa chọn được phương án đúng mà không cần phải tiến hành các tính toán chi tiết.