Phương pháp: Sử dụng công thức \[\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx=F(b)-F(a)}\] và các tính chất của tích phân.
Chú ý: Với các bài toán trắc nghiệm ta có thể kiểm tra trực tiếp kết quả bằng máy tính cầm tay.
Ví dụ 3.8. Tích phân nào sau đây có giá trị bằng \[\frac{70-10\sqrt{5}}{15}?\]
A. \[{{I}_{1}}=\int\limits_{1}^{2}{\frac{{{x}^{2}}+1}{x+1}dx.}\]
B. \[{{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{\tan }^{2}}xdx.}\]
C. \[{{I}_{3}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{e}^{2x}}+1}{{{e}^{x}}}dx.}\]
D. \[{{I}_{4}}=\int\limits_{0}^{4}{\frac{dx}{\sqrt{x+5}-\sqrt{x}}.}\]
Hướng dẫn giải
Đối với đáp án A ta có
\[{{I}_{1}}=\int\limits_{1}^{2}{\frac{{{x}^{2}}-1+2}{x+1}dx}=\int\limits_{1}^{2}{\frac{(x-1)(x+1)+2}{x+1}dx=\int\limits_{1}^{2}{[x-1+\frac{2}{x+1}]dx}}\]
\[=\left. [\frac{{{x}^{2}}}{2}-x+2\ln (x+1)] \right|_{1}^{2}=\frac{1}{2}+2\ln \frac{3}{2}.\]
Đối với đáp án B ta có
\[{{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{\tan }^{2}}xdx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{(\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1)}}dx=\left. (\tan x-x) \right|_{0}^{\frac{\pi }{4}}=1-\frac{\pi }{4}.\]
Đối với đáp án C ta có
\[{{I}_{3}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{e}^{2x}}+1}{{{e}^{x}}}dx=\int\limits_{0}^{1}{({{e}^{x}}+{{e}^{-x}})}}dx=\left. ({{e}^{x}}-{{e}^{-x}}) \right|_{0}^{1}=\frac{{{e}^{2}}-1}{e}.\]
Đối với đáp án D ta có
\[{{I}_{4}}=\int\limits_{0}^{4}{\frac{dx}{\sqrt{x+5}-\sqrt{x}}=}\int\limits_{0}^{4}{\frac{(\sqrt{x+5}+\sqrt{x})dx}{(\sqrt{x+5}-\sqrt{x})(\sqrt{x+5}+\sqrt{x})}}\]
= \[\int\limits_{0}^{4}{\frac{(\sqrt{x+5}+\sqrt{x})dx}{5}}=\left. \frac{2}{15}[{{(x+5)}^{\frac{3}{2}}}+{{x}^{\frac{3}{2}}}] \right|_{0}^{4}\]
= \[\frac{70-10\sqrt{5}}{15}.\]
Vậy ta chọn D.
Nhận xét: Các bài toán trong ví dụ này có thể được xếp ở mức độ "vận dụng". Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để đi đến kết quả một cách nhanh chóng.
Ví dụ 3.9. Các tích phân: \[{{I}_{1}}=\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\left| \operatorname{sinx} \right|}dx\] và \[{{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{4}{\left| {{x}^{2}}-3x+2 \right|}dx\] có giá trị lần lượt là:
A. 2 và \[\frac{17}{3}\].
B. \[\frac{17}{3}\] và 2.
C. 2 và 5,67.
D. 1,999 và \[\frac{17}{3}\].
Hướng dẫn giải
Ta thấy phương trình sinx = 0 có 1 nghiệm là x = 0 nằm trong \[\left[ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right]\] hơn nữa \[\sin x\le 0\forall x\in \left[ -\frac{\pi }{2};0 \right]\] và \[\sin x\ge 0\forall x\in \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\] nên
\[{{I}_{1}}=\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\left| \sin x \right|}dx=\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{0}{\left| \sin x \right|}dx+\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left| \sin x \right|}dx=-\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{0}{\sin x}dx+\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin x}dx\]
\[2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin xdx}=\left. -2\cos x \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=2.\]
Tương tự như trên, ta có phương trình \[{{x}^{2}}-3x+2=0\] có nghiệm là: \[{{x}_{1}}=1\] và \[{{x}_{2}}=2\].
Do đó
\[{{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{4}{\left| {{x}^{2}}-3x+2 \right|}dx=\int\limits_{0}^{1}{\left| {{x}^{2}}-3x+2 \right|dx}+\int\limits_{1}^{2}{\left| {{x}^{2}}-3x+2 \right|dx+\int\limits_{2}^{4}{\left| {{x}^{2}}-3x+2 \right|dx}}\]
\[=\left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{3}{2}{{x}^{2}}+2x \right) \right|_{0}^{1}-\left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{3}{2}{{x}^{2}}+2x \right) \right|_{1}^{2}+\left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{3}{2}{{x}^{2}}+2x \right) \right|_{2}^{4}\]
= \[\frac{17}{3}.\]
Vậy ta chọn A.
Chú ý: Để tính tích phân \[I=\int\limits_{a}^{b}{\left| f(x) \right|}dx\] do ta thường phải xét dấu của f(x) trên [a;b] để phá dấu giá trị tuyệt đối. Để làm được điều đó ta có thể dựa vào tính chất sau:
Nếu f(x) là hàm số liên tục trên [a;b] và phương trình \[f(x)=0\] không có nghiệm trên (a;b) thì f(x) không đổi dấu trên (a;b).
Do đó, để tính tích phân \[I=\int\limits_{a}^{b}{\left| f(x) \right|}dx\] khi f(x) là hàm số liên tục trên [a;b] ta làm như sau:
Giải phương trình \[f(x)=0\] trên [a;b] và sắp xếp các nghiệm thu được theo thứ tự tăng dần trên .png)
Khi đó \[I=\int\limits_{a}^{b}{\left| f(x) \right|dx}=\int\limits_{a}^{{{x}_{1}}}{\left| f(x) \right|}dx+\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left| f(x) \right|}dx+...+\int\limits_{{{x}_{k}}}^{b}{\left| f(x) \right|dx}\]
= \[\left| \int\limits_{a}^{{{x}_{1}}}{f(x)}dx \right|+\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{f(x)dx} \right|+...+\left| \int\limits_{{{x}_{k}}}^{b}{f(x)dx} \right|.\]
Nhận xét: Bài toán trong ví dụ này có thể được xếp ở mức độ "vận dụng". Học sinh cần nắm được cách tính tích phân của hàm có chứa dấu giá trị tuyệt đối và có thể sử dụng máy tính cầm tay để đi đến kết quả.