• Dạng 6. Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần

    • Ví dụ 3.12. (Câu 26, Đề minh hoạ môn Toán kì thi THPT Quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT)

    Tính tích phân \[I=\int\limits_{1}^{e}{x\ln xdx.}\]

    A. \[I=\frac{1}{2}.\]

    B. \[I=\frac{{{e}^{2}}-2}{2}.\]

    C. \[I=\frac{{{e}^{2}}+1}{4}.\]

    D. \[I=\frac{{{e}^{2}}-1}{4}.\]

    Hướng dẫn giải

    Đặt $\left\{\begin{matrix} u=lnx\Rightarrow du=\frac{dx}{2} & \\ dv=xdx\Rightarrow v=\frac{x^2}{2} & \end{matrix}\right.$

    Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được

    \[I=\int\limits_{1}^{e}{x\ln xdx}=\left. \frac{{{x}^{2}}}{2}\ln x \right|_{1}^{e}-\int\limits_{1}^{d}{\frac{xdx}{2}}=\frac{{{e}^{2}}}{2}-\left. \frac{{{x}^{2}}}{4} \right|_{1}^{e}=\frac{{{e}^{2}}+1}{4}.\]

    Vậy ta chọn C.

    Chú ý: Với bài toán trên ta có thể sử dụng máy tính cầm tay (chẳng hạn CASIO fx-570VN PLUS) như sau:

    Bước 1. Ta đổi các kết quả về số thập phân:

    A. 0,5. B. \[\approx 2,6945.\] C. \[\approx 2,09726.\] D. \[\approx 1,59726.\]

    Bước 2. Ta ấn lệnh \[\int\limits_{1}^{e}{x\ln xdx\approx 2,09726}\]. Ta chọn phương án C.

    Nhận xét: Cũng giống như ví dụ 3.11, câu hỏi ở ví dụ này có thể được xếp vào câu hỏi ở mức độ vận dụng. Bằng cách sử dụng máy tính cầm tay học sinh có thể lựa chọn được phương án đúng mà không cần phải tiến hành các tính toán chi tiết.

    Ví dụ 3.13. Với mỗi \[n\in \mathbb{N}*\], cho \[{{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{n}}{{e}^{-x}}dx}\]. Hệ thức nào sau đây đúng?

    A. \[{{I}_{n+1}}=(n+1){{I}_{n}}.\]

    B. \[{{I}_{n+1}}=(n-1){{I}_{n}}.\]

    C. \[{{I}_{n+1}}=-\frac{1}{e}+n{{I}_{n-1}}.\]

    D. \[{{I}_{n+1}}=n{{I}_{n}}.\]

    Hướng dẫn giải

  • Cách 1:$\left\{\begin{matrix} u=x^n & \\ dv=e^{-x}dx & \end{matrix}\right.$ ,suy ra $\left\{\begin{matrix} du=nx^{n-1}dx & \\ v=-e^{-x} & \end{matrix}\right.$ do đó

    • \[{{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{n}}{{e}^{-x}}dx=\left. -{{x}^{n}}{{e}^{-x}} \right|_{0}^{1}}+\int\limits_{0}^{1}{n{{x}^{n-1}}{{e}^{-x}}dx=-\frac{1}{e}}+n{{I}_{n-1}}.\]

    Vậy ta chọn C.

  • Cách 2: Ta thấy nếu các phương án A, B, D là đúng thì \[\frac{{{I}_{n+1}}}{{{I}_{n}}}\] phải là số nguyên, vậy ta tính \[{{I}_{1}},{{I}_{2}}\] và \[\frac{{{I}_{2}}}{{{I}_{1}}}\] ở ta thấy:

    • \[{{I}_{1}}=-\frac{2}{e}+1,{{I}_{2}}=-\frac{5}{e}+2\], từ đây suy ra: \[\frac{{{I}_{2}}}{{{I}_{1}}}=\frac{2e-5}{e-2}\] , không phải là một số nguyên. Do đó, ta chọn C.

    Nhận xét: Câu hỏi ở ví dụ này có thể được xếp vào câu hỏi ở mức độ vận dụng. Bằng cách sử dụng lập luận như ở cách 2 và máy tính cầm tay học sinh có thể lựa chọn được phương án đúng mà không cần phải tiến hành các tính toán chi tiết.