Ví dụ 1.10. (Câu 6, Đề minh hoạ môn Toán kì thi THPT Quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT)
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y=\frac{{{x}^{2}}+3}{x-1}\] trên đoạn [2;4].
A. \[\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }2;4]}{\mathop{\min }}\,y=6.\]
B. \[\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }2;4]}{\mathop{\min }}\,y=-2.\]
C. \[\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }2;4]}{\mathop{\min }}\,y=-3.\]
D. \[\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }2;4]}{\mathop{\min }}\,y=\frac{19}{3}.\]
Hướng dẫn giải
Ta có: \[y'=\frac{{{x}^{2}}-2x-3}{{{(x-1)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \] x= -1 (loại) hoặc x = 3 (thỏa mãn).
Hàm số đã cho liên tục trên đoạn [2;4] và có y(2) = 7; y(3) = 6; \[y(4)=\frac{19}{3}\].
Do đó \[\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }2;4]}{\mathop{\min }}\,y=6\] dẫn đến ta chọn phương án A.
Chú ý: Với bài toán trên, ta có thể sử dụng máy tính CASIO x 570 ES PLUS để kiểm tra kết quả như sau:
Ta ấn MODE sau đó ấn 7: TABLE trên màn hình hiện ra f(X) = …
Ta nhập lệnh: \[\frac{ALPHA{{X}^{2}}+3}{ALPHAX-1}=\]… máy hiện lên dòng lệnh Start? (đây chính là giá trị của đoạn đề cho) ta ấn 2= (vì để bài cho đoạn [2;4]). Tiếp theo máy sẽ hiện End? ta nhập 4=.
Sau đó máy sẽ hiện Step? (đây chính là bước nhảy của các giá trị trong đoạn [2;4]) ta chọn \[\frac{4-2}{20}=\] (tức là các giá trị thử vào hơn nhau 0,1). Máy sẽ hiện lên bảng số liệu sau:
|
| X | f(X) |
| 1 | 2 | 7 |
| 2 | 2,1 | 6,7363 |
| 3 | 2,2 | 6,5333 |
| 4 | 2,3 | 6,3769 |
| : | : | : |
| 11 | 3 | 6 |
| : | : | : |
| 21 | 4 | 6,3333 |
| 22 |
|
|
Dựa vào bảng trên ta thấy với giá trị của \[x\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }2;4]\] thì hàm số có giá trị nhỏ nhất là 6. Nên chọn phương án A là đúng.
Ví dụ 1.11. Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y=f(x)={{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-7x+2\] trên đoạn [-1;3]. Tổng của M + m bằng:
A. M+m= 24. B. M+m=36. C. M+m=30. D. M+m=28.
Hướng dẫn giải
Ta có \[y'=3{{x}^{2}}+4x-7,y'=0\Leftrightarrow \] x=1 hoặc \[x=-\frac{7}{3}\] (loại)
Ta tính các giá trị \[f(1)=-2;f(-1)=10;f(3)=26.\]
Do đó \[M=26;m=-2\Rightarrow M+m=24.\]
Vậy phương án A là phương án đúng.
Nhận xét: Với cách làm trên ta phải cẩn thận loại bỏ nghiệm x của phương trình y'=0 ngoài [-1;3] và ta mất nhiều thời gian để đi đến kết quả.
Chú ý: Với bài trên ta cũng có thể dùng máy tính cầm tay để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [-1;3] giống như ví dụ trước. Từ bảng kết quả của việc bấm máy tính cũng cho ta kết quả là \[M=26;m=-2\Rightarrow M+m=24.\]