Ví dụ 3.10. (Câu 25, Đề minh hoạ môn Toán kì thi THPT Quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT)
Tính tích phân \[I=\int\limits_{0}^{\pi }{{{\cos }^{3}}x\sin xdx.}\]
A. \[I=-\frac{1}{4}{{\pi }^{4}}.\]
B. \[I=-{{\pi }^{4}}.\]
C. I = 0.
D. \[I=-\frac{1}{4}.\]
Hướng dẫn giải
Do đó \[I=-\int\limits_{0}^{\pi }{{{\cos }^{3}}x(-\sin x)dx=-\int\limits_{1}^{-1}{{{u}^{3}}du=\int\limits_{-1}^{1}{{{u}^{3}}du}}}=\left. \frac{{{u}^{4}}}{4} \right|_{-1}^{1}=0.\]
Vậy ta chọn C.
\[I=\int\limits_{0}^{\pi }{{{\cos }^{3}}x\sin xdx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\cos }^{3}}x\sin xdx+\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{{{\cos }^{3}}x\sin xdx={{I}_{1}}+{{I}_{2}}}}}.\]
Xét \[{{I}_{2}}=\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{{{\cos }^{3}}x\sin xdx.}\]
Đặt \[x=\frac{\pi }{2}+t,dx=dt,\]$\left\{\begin{matrix} x=\frac{\Pi }{2}\Rightarrow t=0 & \\ x=\Pi \Rightarrow t=\frac{\Pi }{2} & \end{matrix}\right.$ ta suy ra:
\[{{I}_{2}}=\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{{{\cos }^{3}}x\sin xdx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\cos }^{3}}(\frac{\pi }{2}+t)sin\left( \frac{\pi }{2}+t \right)}}dt\]
= \[-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\cos }^{3}}x\sin xdx=-{{I}_{1}}}.\]
Vậy I = 0. Ta chọn C.
Nhận xét: Với bài toán trên ta có thể sử dụng máy tính cầm tay (chẳng hạn CASIO fx-570VN PLUS) như sau:
Bước 1. Ta chuyển ấn máy về chế độ Radian.
Bước 2. Ta ấn lệnh \[\int\limits_{0}^{\pi }{{{(\cos (X))}^{3}}\sin (X)dx}\] được kết quả 0, suy ra phương án C.
Chú ý:
- Nếu \[f(x)\] là hàm số liên tục và lẻ trên [-a;a], tức là
\[f(-x)=-f(x),\forall x\in [-a;a]\] thì \[\int\limits_{-a}^{a}{f(x)dx=0.}\]
Đặc biệt, nếu \[f(x)\] là hàm số liên tục và lẻ trên [-1; 1] thì
\[\int\limits_{0}^{\pi }{f(cosx)sinxdx}=0;\] và \[\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{f(sinx)cosxdx}=0;\]
Nếu \[f(x)\] là hàm số liên tục và chẵn trên [-a,a], tức là
\[f(-x)=f(x),\forall x\in [-a;a]\] thì \[\int\limits_{-a}^{a}{f(x)dx=2\int\limits_{0}^{a}{f(x)dx.}}\]
Đặc biệt, nếu \[f(x)\] là hàm số liên tục và chẵn trên [-1; 1] thì:
\[\int\limits_{0}^{\pi }{f(\cos x)\sin xdx=2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f(\cos x)\sin xdx;}}\]
\[\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{f(sinx)cosxdx=2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f(sinx)cosxdx;}}\]
Nhận xét: Câu hỏi trong ví dụ 3.10 có thể được xếp vào câu hỏi ở mức độ vận dụng. Nếu học sinh nắm được các chú ý ở trên thì có thể lựa chọn ngay được phương án đúng mà không cần phải tiến hành các tính toán cụ thể.
Ví dụ 3.11. Cho a là hằng số thực dương. Tích phân \[I=\int\limits_{0}^{a}{\frac{dx}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}\] có giá trị bằng:
A. \[\frac{\pi }{4a}\].
B. \[\frac{\pi }{5a}\].
C. \[\frac{\pi }{6a}.\]
D. \[\frac{7,85}{10a}.\]
Hướng dẫn giải
Đặt \[x=a\tan t\Rightarrow dx=\frac{adt}{{{\cos }^{2}}t}.\]
Đổi cận $\left\{\begin{matrix} x=0\Rightarrow t=0 & \\ x=a\Rightarrow t=\frac{\Pi }{4} & \end{matrix}\right.$
Suy ra \[I=\int\limits_{0}^{a}{\frac{dx}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{adt}{{{a}^{2}}(1+{{\tan }^{2}}t){{\cos }^{2}}t}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{dt}{a}=\frac{\pi }{4a}.}\]
Vậy ta chọn A.
Nhận xét: Câu hỏi trong ví dụ 3.11 có thể được xếp vào câu hỏi ở mức độ vận dụng. Học sinh có thể cho a một giá trị cụ thể, chẳng hạn a = 1 rồi sử dụng máy tính cầm tay để lựa chọn được phương án đúng.