Ví dụ 1.8. Cho hàm số \[f(x)=x-\sin 2x+1\]. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. \[f(x)\] đạt cực tiểu tại \[x=\frac{\pi }{6}.\]
B. \[f(x)\]đạt cực đại tại \[x=\frac{\pi }{3}.\]
C. \[f(x)\] đạt cực tiểu tại \[x=\frac{\pi }{4}.\]
D. \[f(x)\] đạt cực đại tại \[x=\frac{\pi }{6}.\]
Hướng dẫn giải
Với bài toán trên ta dùng quy tắc 2 để tìm điểm cực trị.
Ta có
\[f(x)=x-\sin 2x+1\Rightarrow f'(x)=1-2\cos 2x\Rightarrow f''(x)=4\sin 2x.\]
Kết hợp sử dụng máy tính ta tìm ra phương án A là phương án đúng.
Ví dụ 1.9. (Câu 8, Đề minh hoạ môn Toán kì thi THPT Quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số \[y={{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}+1\] có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.
A. \[m=-\frac{1}{\sqrt[3]{9}}.\]
B. \[m=-1.\]
C. \[m=\frac{1}{\sqrt[3]{9}}.\]
D. m=1.
Hướng dẫn giải
\[y'=4{{x}^{3}}+4mx=0\Leftrightarrow \]$\left\{\begin{matrix} x=0 & \\ x^2=-m & \end{matrix}\right.$
Để đồ thị hàm số có ba cực trị thì \[-m>0\Rightarrow m<0.\]
Khi đó ta tính được ba điểm cực trị là
\[A(0;1),B(-\sqrt{m};-{{m}^{2}}+1),C(-\sqrt{-m};-{{m}^{2}}+1)\].
Ta nhận xét \[A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}=-m+{{m}^{4}}\] nên tam giác ABC luôn cân ở đỉnh A.
Do đó để thoả mãn điều kiện đề bài thì
\[AB\bot AC\Leftrightarrow \overline{AB}.\overline{AC}=0\Leftrightarrow \] m=0 (loại) hoặc m= -1.
Do đó ta chọn phương án B.
Nhận xét: Với hai cách làm thông thường này sẽ làm cho việc tìm ra phương án đúng sẽ mất nhiều thời gian.
Ta có thể kết hợp cả hai cách trên như sau:
Từ việc giải \[y'=4{{x}^{3}}+4mx=0\Leftrightarrow \] x=0 hoặc \[{{x}^{2}}=-m\]. Để đồ thị hàm số có ba cực trị thì \[-m>0\Rightarrow m<0.\]
Từ đây ta loại bỏ được hai phương án là C, D.
Đến đây ta dùng cách thử phương án sẽ thuận tiện hơn, ta ưu tiên chọn m =-1 và ta thay vào kiểm tra thấy thoả mãn. Do đó ta chọn phương án B.