Bài toán dạng này thông thường sẽ có cấu trúc như sau: Cho một hàm số và hỏi đạo hàm của hàm số đó là hàm số nào (trong các phương án A, B, C, D). Nếu chúng ta sử dụng phương pháp thử từng hàm trong các phương án đã cho bằng cách lấy nguyên hàm của chúng để tìm ra hàm đã cho thì sẽ dẫn đến bài toán "khó" hơn so với bài toán ban đầu vì việc tính đạo hàm luôn "dễ" hơn so với tính nguyên hàm. Bởi vậy, các phương án A, B, C, D trong bài toán thực chất chỉ đóng vai trò là các dữ liệu để chúng ta đối chiếu sau khi đã tính ra đạo hàm của hàm số đã cho.
Ví dụ 2.7. (Câu 18, Đề minh họa môn Toán kì thi THPT Quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT)
Tính đạo hàm của hàm số \[y=\frac{x+1}{{{4}^{x}}}\].
A. \[y'=\frac{1-2(x+1)\ln 2}{{{2}^{2x}}}\].
B. \[y'=\frac{1+2(x+1)\ln 2}{{{2}^{2x}}}\].
C. \[y'=\frac{1-2(x+1)\ln 2}{{{2}^{{{x}^{2}}}}}\].
D. \[y'=\frac{1-2(x+1)\ln 2}{{{2}^{{{x}^{2}}}}}\].
Hướng dẫn giải
Như đã phân tích ở trên, chúng ta sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm thương, công thức tính đạo hàm của hàm luỹ thừa, công thức tính đạo hàm của hàm mũ để tìm ra phương án đúng:
\[y'=\frac{{{4}^{x}}-(x+1){{.4}^{x}}\ln 4}{{{({{4}^{x}})}^{2}}}=\frac{1-(x+1).2\ln 2}{{{4}^{x}}}=\frac{1-2(x+1)\ln 2}{{{2}^{2x}}}\]
Vậy A là phương án đúng.
Nhận xét: Bài toán ở ví dụ này nhằm mục đích kiểm tra việc hiểu và vận dụng các công thức tính đạo hàm không chỉ với hàm mũ ở chuyên đề đang xét mà với các hàm số ở các chuyên đề khác. Do đó, bài toán này có thể xếp ở mức độ "vận dụng".
Chú ý: Với bài toán trên ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính đạo hàm của hàm số tại một điểm \[x={{x}_{0}}\] nào đó, rồi thay \[x={{x}_{0}}\] vào các phương án để so sánh với kết quả vừa tính.
Ví dụ 2.8. Đạo hàm của hàm số\[f(x)=2{{x}^{2}}\ln x-{{x}^{2}}\] là:
A. \[4x\ln x.\]
B. 4 - 2x.
C. \[2x+\frac{1}{x}.\]
D. \[2x\ln x-2x.\]
Hướng dẫn giải
Tương tự Ví dụ 2.7, chúng ta có
\[f'(x)=4x\ln x+2{{x}^{2}}.\frac{1}{x}-2x=4x\ln x.\]
Vậy A là phương án đúng.