Ví dụ 4.13. (Câu 34, Đề minh hoạ môn Toán kì thi THPT Quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT)
Cho các số phức z thoả mãn |z|=4. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w=(3+4i)z+i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó.
A. r = 4.
B. r = 5.
C. r = 20.
D. r = 22.
Hướng dẫn giải
Ta có \[w=(3+4i)z+i\] nên \[z=\frac{w-i}{3+4i}\], do đó
\[4=\left| z \right|=\left| \frac{w-i}{3+4i} \right|=\left| \frac{w-i}{3+4i} \right|=\frac{\left| w-i \right|}{5}.\]
Vậy \[\left| w-i \right|=4.5=20\]. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn w là đường tròn có bán kính r = 20. Ta chọn phương án C.
Ví dụ 4.14. Phát biểu nào sau đây là sai?
A. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện \[\left| z+1-i \right|=\left| z-2+i \right|\] là đường trung trực của MN với M(-1;1) và N(2;-1).
B. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện \[\left| z+1-i \right|=\left| z-2+i \right|\] là đường thẳng có phương trình 6x - 4y – 3 = 0.
C. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện \[\left| z \right|=1\] là đường tròn tâm O(0;0) bán kinh bằng 1.
D. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức có phần ảo bằng 2 là một đường thẳng song song với trục tung.
Hướng dẫn giải
Cách 1. Gọi P là điểm biểu diễn số phức z thì \[\left| z+1-i \right|=\left| z-2+i \right|\] trở thành PM = PN. Vậy tập hợp các điểm P là đường trung trực của MN nên phát biểu A là đúng.
Ta thấy 6x - 4y – 3 = 0 là phương trình đường trung trực của MN nên B đúng. Tương tự, câu C là đúng. Vậy ta chọn D.
Cách 2: Ta có tập hợp các điểm biểu diễn số phức có phần ảo bằng 2 là đường thẳng có phương trình y = 2, là đường thẳng song song với trục hoành nên câu D sai. Vậy ta chọn D.
Nhận xét: Với bài toán trên, nếu làm theo cách 1, kiểu tự luận, sẽ làm chúng ta mất khá nhiều thời gian tính toán. Tuy nhiên với cách 2, bằng cách quan sát các đáp án đã cho, chú ý với câu hỏi tìm phát biểu sai, chúng ta sẽ tìm được đáp án đúng nhanh hơn.