Dạng 5. Cực trị hình học
Ví dụ 6.9. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - 5 = 0 và hai điểm E(2; 3; 7), F(-1; 0; 4). Với M là điểm thuộc mặt phẳng (P), giá trị nhỏ nhất của $ME^{2}+2MF^{2}$ bằng:
A. 21.
B. 12.
C. 24.
D. 18.
Hướng dẫn giải
Nhận thấy, với I là điểm tuỳ ý, ta có biểu diễn
$ME^{2}+2MF^{2}=3MI^{2}+IE^{2}+2IF^{2}+2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IE}+2\overrightarrow{IF})$
Gọi I là điểm thoả mãn điều kiện $\overrightarrow{IE}+2\overrightarrow{IF}=\overrightarrow{0}$, ta tìm được toạ độ I(0; 1; 5), khi đó ta có $ME^{2}+2MF^{2}=3MI^{2}+IE^{2}+2IF^{2}$, trong đó $IE^{2}+2IF^{2}$ cố định, vì vậy $ME^{2}+2MF^{2}$ nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên (P). Tiến hành tìm hình chiếu H và ta có giá trị nhỏ nhất của $ME^{2}+2MF^{2}=3HI^{2}+IE^{2}+2IF^{2}=21$, hay phương án A là phương án đúng
Nhận xét: Đây là câu hỏi đòi hỏi mức độ kiến thức tổng hợp, tư duy chặt chẽ và lôgic. Đối với tư duy thông thường, bài toán tìm điểm chúng ta thường đặt ẩn theo toạ độ của điểm cần tìm rồi thiết lập điều kiện với các ẩn, từ đó giải ra được đáp số. Tuy nhiên bài này, nếu đặt M(a; b; c) sẽ dẫn về bài toán tìm GTNN của biểu thức 3 biến với 1 ràng buộc có từ phương trình mặt phẳng (P), đây là bài toán rất khó. Tuy nhiên với cách làm ở trên, bằng cách khéo léo vận dụng các kiến thức hình học ta có thể đi đến đáp số của bài toán dễ dàng hơn mặc dù cũng đòi hỏi lượng kiến thức tổng hợp cao cùng với khả năng tính toán tốt. Câu hỏi này có thể được xếp vào loại vận dụng cao.