Ví dụ 3.14. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cho trong các trường hợp sau:
a) Đồ thị hàm số \[y={{e}^{2x}}-1\], trục hoành, đường thẳng x = 1 và đường thẳng x = 2.
b) Đồ thị hàm số \[y=\frac{2}{x+1}\], trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 4.
c) Đồ thị hàm số y = x3, trục hoành và đường thẳng x = 2.
Hướng dẫn giải
a) Diện tích cần tìm là:
\[S=\int\limits_{1}^{2}{\left| {{e}^{2x}}-1 \right|}dx=\int\limits_{1}^{2}{({{e}^{2x}}-1)dx=\left. (\frac{{{e}^{2x}}}{2}-x) \right|_{1}^{2}}=\frac{1}{2}({{e}^{4}}-{{e}^{2}})-1\] (đvdt)
b) Tương tự như câu a) ta có:
\[S=\int\limits_{0}^{4}{\left| \frac{2}{x+1} \right|dx=\int\limits_{0}^{4}{\frac{2}{x+1}dx=\left. 2\ln \left| x+1 \right| \right|_{0}^{4}=2\ln 5}}\] (đvdt)
c) Đồ thị hàm số y = x3 cắt trục hoành y = 0 tại điểm O(0; 0). Do đó
\[S=\int\limits_{0}^{2}{\left| {{x}^{3}} \right|dx=\int\limits_{0}^{2}{{{x}^{3}}dx=}}\left. \frac{{{x}^{4}}}{4} \right|_{0}^{2}\] (đvdt)
Nhận xét: Đối với các câu hỏi tính diện tích, học sinh cần viết được công thức tính diện tích qua tích phân, biết cách tính tích phân của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối. Việc tính tích phân có thể sử dụng máy tính cầm tay để tiết kiệm thời gian làm bài.
Ví dụ 3.15. (Câu 27, Đề minh hoạ môn Toán kì thi THPT Quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT)
Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y={{x}^{3}}-x\] và đồ thị hàm số \[y=x-{{x}^{2}}.\]
A. \[\frac{37}{12}\] (đvdt).
B. \[\frac{9}{4}\] (đvdt).
C.\[\frac{81}{12}\] (đvdt).
D. 13 (đvdt).
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm là:
\[{{x}^{3}}-x=x-{{x}^{2}}\] hay \[{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x=0.\]
Giải ra ta được \[{{x}_{1}}=-2;{{x}_{2}}=0;{{x}_{3}}=1.\]
\[S=\int\limits_{-2}^{1}{\left| {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-2x \right|dx=\int\limits_{-2}^{0}{\left| {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x \right|dx+\int\limits_{0}^{1}{\left| {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x \right|dx}}}\]
\[=\left| \int\limits_{-2}^{0}{({{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x)dx} \right|+\left| \int\limits_{0}^{1}{({{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x)dx} \right|\]
\[=\left| \left. (\frac{{{x}^{4}}}{4}+\frac{{{x}^{3}}}{3}-{{x}^{2}}) \right|_{-2}^{0} \right|+\left| \left. \frac{{{x}^{4}}}{4}+\frac{{{x}^{3}}}{3}-{{x}^{2}} \right|_{0}^{1} \right|=\frac{37}{12}\] (đvdt)
Vậy ta chọn A.
Nhận xét: Cũng giống như ví dụ 3.15, học sinh cần viết được công thức tính diện tích qua tích phân, biết áp dụng quy tắc tính tích phân của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối. Việc tính tích phân có thể sử dụng máy tính cầm tay để tiết kiệm thời gian làm bài. Câu hỏi ở ví dụ này có thể được xếp ở mức độ "vận dụng"
Ví dụ 3.16. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong \[x={{y}^{2}}\] và \[x=-2{{y}^{2}}+3\] là:
A. 2,1 (đvdt). B. 2,3 (đvdt). C. 2,5 (đvdt). D. 4 (đvdt).
Hướng dẫn giải
Giống như việc tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y=f(x)\] và \[y=g(x)\]. Ta có tung độ giao điểm của hai đường cong đã cho là
\[{{y}^{2}}=-2{{y}^{2}}+3\Leftrightarrow {{y}^{2}}=1.\]
Giải ra ta được: \[{{y}_{1}}=-1;{{y}_{2}}=1.\]
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
\[S=\int\limits_{-1}^{1}{\left| {{y}^{2}}-(-2{{y}^{2}}+3) \right|}dy=\int\limits_{-1}^{1}{(-3{{y}^{2}}+3)dy}=4\] (đvdt)
Vậy ta chọn D.
Nhận xét: Câu hỏi ở ví dụ này có thể được xếp ở mức độ "vận dụng". Ở ví dụ này học sinh cần có tư duy "tương tự hóa" giữa vai trò của x và y để viết được chính xác công thức tính diện tích qua tích phân, biết tính tích phân của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối. Việc tính tích phân có thể sử dụng máy tính cầm tay để rút ngắn thời gian làm bài.