3.1.4. Một số phương pháp tính tích phân
3.1.4.1. Phương pháp đổi biến số
Giả sử u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y = \[f(u)\] liên tục sao cho hàm hợp \[f[u(x)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }\] xác định trên K, hai số a,b thuộc K. Khi đó
\[\int\limits_{a}^{b}{f[u(x)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }u'(x)dx=\int\limits_{u(a)}^{u(b)}{f(u)du}}\] (3.3)
Dựa vào công thức (3.3) ta có hai quy tắc đổi biến số sau đây:
Quy tắc đổi biến dạng 1
Giả sử cần tính tích phân dạng \[I=\int\limits_{a}^{b}{f[u(x)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }u'(x)dx}\] ta làm như sau:
Đặt \[t=u(x)\Rightarrow dt=u'(x)dx\]
Đổi cận: $\left\{\begin{matrix} x=a & \\ x=b & \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} t=u(a)=\alpha & \\ t=u(b)=\beta & \end{matrix}\right.$
Từ đây suy ra \[I=\int\limits_{a}^{b}{f[u(x)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }u'(x)dx}=\int\limits_{\alpha }^{\beta }{f(t)dt(*)}\]
Tính (*) ta được tích phân cần tìm.
Quy tắc đổi biến dạng 2
Giả sử cần tính tích phân \[I=\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}\]. Ta thực hiện phép đổi biến số qua các bước:
Đặt \[x=u(t)\Rightarrow dx=u'(t)dt\]
Đổi cận: $\left\{\begin{matrix} x=a & \\ x=b & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} t=\alpha & \\ t=\beta & \end{matrix}\right.$
Thay vào I ta được \[I=\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=\int\limits_{\alpha }^{\beta }{f[u(t)]u'(t)dt=\int\limits_{\alpha }^{\beta }{g(t)dt}}\](**)
Tính (**) ta được tích phân cần tìm.
Một số dạng thường gặp:
Tích phân có chứa \[\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}\] ta có thể đặt \[x=a\sin t\];
Tích phân có chứa x2 + a2 ta có thể đặt \[x=a\tan t\];
Tích phân có chứa \[\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}\] ta có thể đặt \[x=\frac{a}{\cos t}\].
3.1.4.2. Phương pháp tính tích phân từng phần
- Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên [a;b] thì
\[\int\limits_{a}^{b}{u(x)v'(x)dx=\left. (u(x)v(x)) \right|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}{v(x)u'(x)dx}}.\] (3.4)
Công thức (3.4) được gọi là công thức tính tích phân từng phần và còn được viết dưới dạng:
\[\int\limits_{a}^{b}{udv=\left. (uv) \right|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}{vdu}}.\]